Fully Homomorphic Encryption and Bootstrapping

This report is the result of a work done during the SEME (Semaine d'Étude Mathématiques Entreprise) in Rennes (May 2nd-May 6th 2022). The project presented here concerns the company Ravel Technologies and deals with the field of homomorphic encryption for secure data processing. Homomorphic encryption is an encryption that allows users to do computations on encrypted data without first decrypting them. An encryption algorithm must switch with elementary operations, which are at least addition and multiplication. A straightforward application of a homomorphic encryption for the delegation of calculations concerns cloud computing service where there is a need to perform calculations while preserving the confidentiality of the data, e.g. for the medical and banking sectors. Among possible algorithms, those that have become popular over the last ten years are based on the socalled Learning With Errors (LWE) problem, for performance and security reasons. Since this technique introduces noise into the encryption, which can grow during homomorphic computations to the point that later decryption fails, it is necessary to consider a noise reduction method such as bootstrapping.Ce rapport est le résultat d'un travail effectué lors de la SEME (Semaine d'Étude Mathématiques Entreprise) à Rennes (2 mai au 6 mai 2022). Le projet présenté ici concerne l'entreprise Ravel Technologies et porte sur le domaine du chiffrement homomorphe pour le traitement sécurisé des données. Le chiffrement homomorphe est un chiffrement qui permet aux utilisateurs d'effectuer des calculs sur des données chiffrées sans les déchiffrer au préalable. Un algorithme de cryptage doit passer par des opérations élémentaires, qui sont au moins l'addition et la multiplication. Une application directe d'un chiffrement homomorphe pour la délégation de calculs concerne les services de cloud computing où il est nécessaire d'effectuer des calculs tout en préservant la confidentialité des données, par exemple pour les secteurs médical et bancaire. Parmi les algorithmes possibles, ceux qui sont devenus populaires au cours des dix dernières années sont basés sur le problème dit d'apprentissage avec erreurs (LWE), pour des raisons de performance et de sécurité. Comme cette technique introduit du bruit dans le chiffrement, qui peut croître pendant les calculs homomorphiques au point de faire échouer le déchiffrement ultérieur, il est nécessaire d'envisager une méthode de réduction du bruit telle que le bootstrap