Application of differential calculus in optimization problems

U ovom završnom radu obrađena je tema diferencijalnog računa i njegove primjene u rješavanju problema optimizacije. Diferencijalni račun područje je matematičke analize koje proučava derivacije i njihovu primjenu. Primjenom diferencijalnog računa određuju se intervali monotonosti odnosno intervali na kojima funkcija pada ili raste, pronalaze se lokalni ekstremi funkcije odnosno točke u kojima funkcija postiže najveću ili najmanju vrijednost te se određuju intervali konveksnosti i konkavnosti funkcije. Za svakog inženjera važno je poznavati diferencijalni račun jer se optimizacijski problemi u kojima se određuje najmanja ili najveća vrijednost koju funkcija može poprimiti često javljaju u inženjerstvu. Prvo poglavlje ovog rada govori o povijesnom pregledu nastajanja diferencijalnog računa i njegovim stvarateljima Sir Isaacu Newtonu i Gottfriedu Wilhelmu Leibnizu. Drugo poglavlje govori o definiciji derivacije, derivaciji elementarnih funkcija, derivacijama višeg reda, tangenti i normali, derivaciji parametarski i implicitno zadanih funkcija te diferencijalu. Sljedeće poglavlje posvećeno je najvažnijim teoremima diferencijalnog računa, a to su Fermatov teorem, Rolleov teorem, Cauchyjev teorem i Lagrangeov teorem. U četvrtom poglavlju istaknute su primjena diferencijalnog računa s naglaskom na određivanje lokalnih ekstrema funkcije jedne varijable. U petom poglavlju se diferencijalni račun proširuje na funkcije dviju varijabli koje se koriste kada jedna veličina ovisi o druge dvije, međusobno nezavisne veličine. Pojašnjeno je kako se tada određuju lokalni ekstremi pomoću parcijalnih derivacija prvog i drugog reda. U posljednjem poglavlju prikazana je primjena diferencijalnog računa na optimizacijskim problemima iz inženjerstva.This final paper deals with the topic of differential calculus and its application in solving optimization problems. Differential calculus is a field of mathematical analysis that deals with derivatives and their application. Through the application of differential calculus, the intervals of monotonicity are determined, that is, the intervals at which the function falls or rises, the local extreme points of the function or the points at which the function reaches the highest or lowest value, and the intervals of convexity and concavity of the function are determined. It is important for any engineer to know differential calculus, since optimization problems that determine the minimum or maximum value that a function can take are common in engineering. The first chapter of this final paper gives a historical overview of the origin of differential calculus and its creators Sir Isaac Newton and Gottfried Wilhelm Leibniz. The second chapter deals with the definition of the derivative, the derivative of elementary functions, higher order derivatives, tangents and normals, the derivative of parametrically and implicitly given functions, and the differential. The next chapter is devoted to the most important theorems of differential calculus, namely Fermat's theorem, Rolle's theorem, Cauchy's theorem, and Lagrange's theorem. In the fourth chapter, the application of differential calculus is emphasized, with a focus on determining the local extrema of the function of a variable. In the fifth chapter, differential calculus is extended to the functions of the two variables used when one quantity depends on the other two independent quantities. It is explained how local extreme values are determined using first and second order partial derivatives. In the last chapter, the application of differential calculus to optimization problems in engineering is presente