Bayesian inference for the difference of expectations

Ovaj rad obrađuje Bayesovske metode za donošenje zaključaka o razlici očekivanja dvaju normalnih razdioba. U uvodnom poglavlju navedeni su osnovni statistički i vjerojatnosni pojmovi korišteni u nastavku rada. Također, u sklopu istog poglavlja dan je iskaz i dokaz diskretne verzije Bayesovog teorema, na čijem se konceptu temelji cjelokupna Bayesovska statistika, te motivacija za ključne pojmove poput apriorne i aposteriorne distribucije. Drugo poglavlje rada posvećeno je samoj Bayesovoj koncepciji i načinu na koje ona funkcionira. Poglavlje je započeto prirodnim proširenjem diskretne verzije Bayesovog teorema na neprekidnu verziju, a zatim su detaljnije opisani i proučeni pojmovi apriornih i aposteriornih distribucija, te funkcija vjerodostojnosti. Kraj poglavlja detaljno opisuje neke od najčešćih odabira apriornih distribucija te razrađuje proces samog zaključivanja kada se radi o jednoj populaciji iz normalne razdiobe, odnosno jednom parametru očekivanja. U trećem poglavlju, uz pomoć nekoliko dodatnih rezultata iz teorije vjerojatnosti, sistematično proširujemo prethodno obrađenu koncepciju na dva uzorka iz dvaju normalnih distribucija, u ovisnosti o tome jesu li varijance uzoraka jednake ili različite, te jesu li one poznate ili ne. Nadalje, po uzoru na analizu za razliku očekivanja, ilustrativno je prikazana i analiza razlike dvaju proporcija nekog svojstva u dvama populacijama. Poglavlje je završeno metodom uparivanja dvaju uzoraka, koje se vrlo jednostavno svodi na analizu jedne populacije, opisanu u prethodnom poglavlju. U posljednjem poglavlju dan je niz zadataka na kojima primjenjujemo svaku od proučenih metoda, a koji su potom riješeni pomoću programskog jezika R, uz priloženi kod na kraju samoga rada.This paper describes various methods of Bayesian inference for difference between normal means. The first chapter consists of listing various definitions and basic concepts from statistics and probability theory, which we use throughout the paper. We also introduce discrete version of Bayes theorem, together with some key terms such as a priori and posteriori distributions, which are all essential for further analysis of Bayesian statistics. The second chapter further describes the concepts and ideas of Bayesian statistics. First, we introduce continuous version of Bayes theorem and then study the concepts of likelihood functions and a priori and posteriori distributions more thoroughly. At the end of this chapter we discuss some of the most common picks for a priori distributions and develop the method of Bayesian inference for a normal mean from a single normal population. In the third chapter, with the help of several additional results from probability theory, we systematically expand previously studied concepts to two samples from two normal distributions, depending on whether the sample variances are the same or different, and whether they are known or not. Furthermore, we show and illustrate similar ideas of Bayesian inferences for the difference between two proportions and for paired samples from two normal populations. In the final chapter, we apply all of those methods on selected problems with the help of statistical programming language R