Multiscale modelling of damage and fracture in (quasi-) brittle media

In the first part of the manuscript we develop a new method to obtain damage models for solids, by homogenisation, starting from a micro-structural analysis. The new approach is illustrated for brittle materials. The main ingredient is an energy analysis on a periodicity cell of finite length leading, through homogenisation, to a macroscopic damage evolution law. In this equation, the size of the periodicity cell is an internal material length. The model is then extended to take into account friction on micro-cracks.In the second part, we study unstable behaviours of granular media consisting elastic grains, in the framework of large strain, and inter-granular micro-cracks. We use a computational homogenization scheme with two-level finite elements. For inter-granular interfaces we consider cohesive laws with friction and unilateral contact. We prove that inter-granular decohesion is the origin of macro-instabilities, indicated by the loss of ellipticity of the equilibrium problem. The influence of microscopic boundary conditions, cohesive law parameters and friction is pointed out. We give examples of bifurcated solutions and we show the dependence of the macroscopic response on the size of the representative elementary volume.Dans la première partie de ce manuscrit, nous développons un nouveau procédé pour obtenir des modèles d'endommagement pour les solides, pour lesquels la loi d'évolution d'endommagement est déduite par homogénéisation, à partir d'une analyse microstructurale. La nouvelle approche est illustrée dans le cas des matériaux fragiles. L'outil principal est une analyse énergétique macroscopique sur une cellule de taille finie, qui mène, par homogénéisation, à une équation macroscopique d'évolution d'endommagement. Dans cette équation, la longueur des microfissures apparaît comme variable d'endommagement et la taille de la cellule de périodicité represente un paramètre de longueur interne du matériau. La dissipation, liée au frottement sur les lèvres des microfissures, est également prise en compte.Dans la deuxième partie, nous étudions les comportements instables des milieux granulaires modélisés par des grains élastiques, en grandes déformations, et des microfissures inter-granulaires. On emploie une méthode d'éléments finis à deux échelles. Les frontières entre les grains sont modélisées avec deslois cohésives, frottement et contact unilatéral. Nous prouvons que la décohésion entre les grains est à l'origine des macro-instabilités, indiquées par la perte d'ellipticité du problème d'équilibre. On étudie l'influence des conditions aux frontières, des paramètres de la loi cohésive et du frottement. Nous donnons des exemples de bifurcation et nous montrons que la réponse macroscopique dépend de la taille de VER