Bayes' estimators. Application to the univariate linear regression model

Este estudo apresenta, através de revisão bibliográfica, os elementos do método de Bayes em problemas de estimação de parâmetros, assunto pouco difundido na língua portuguesa. O desenvolvimento teórico mostra, de um modo geral, como as informações anteriores a um experimento são incorporadas às informações provindas de um experimento atual, através do Teorema de Bayes. São definidas Função Perda e Função Risco, mostrando como são obtidos os estimadores de Bayes quando se utiliza a função perda quadrática. Atenção particular é dada ao estudo da distribuição "a priori", reunindo algumas conclusões de trabalhos sobre informação contida na amostra e sobre a distribuição "à priori" nas situações em que não se dispõe de informação prévia sobre os parâmetros. Dispondo de informações previas, mostra-se como o método de Bayes pode utilizá-las, através das chamadas Distribuições Conjugadas. Os conceitos gerais do método bayesiano são aplicados na estimação de parâmetros em Modelo de Regressão Linear Simples, encontrando-se, no caso de função perda quadrática, os estimadores de Bayes, as funções de densidade de probabilidade "a posteriori", os testes de hipóteses, intervalos de confiança para os parâmetros e intervalo de previsão, nas situações em que a distribuição "a priori" indica ignorância sobre os parâmetros, e em que essa distribuição é informativa. Experimentos são simulados para mostrar o comportamento das estimativas de Bayes em relação às estimativas de mínimos quadrados, particularmente no caso em que se dispõem de pequenas amostras atuais e informações previas fidedignas, e na hipótese de que os coeficientes de regressão e as variâncias são os mesmos para as duas amostras. A robustez do método é verificada no caso em que esta hipótese é violada, modificando-se a variância dos dados da "amostra atual" em relação aos dados da "amostra previa". Um método aproximado para a análise desta última situação é indicado.This study shows, through bibliographical revision, how the elements of Bayes' method are used in problems of parameter estimation, matter little diffused in Portuguese language. The theoretical development shows, by and large, how previous information can be incorporated to an actual experiment, through Bayes' theorem. Bayes' estimators based on quadratic loss are obtained with particular attention to prior distributions analysis, gathering some conclusions about information within sample and how to consider prior distributions in situations where no prior information do exist about parameters. Otherwise we show how to use Bayes' method, through Conjugated Distributions, when we do have prior information. The general concepts of Bayesian Method are applied to the parameter estimation in the Univariate Normal Linear Regression Model, in the case of quadratic loss function. We look at Bayes' estimators, the posterior probability density functions, hypothesis tests, confidence intervals for the parameters and predictive interval, in situations in which the prior distributions indicate ignorance about the parameters and when this distribution is informative. Experiments are simulated to show the behaviour of Bayes' estimators compared to the least squares method, particularly in the case in which we have actual small sample size and creditable previous samples, and assuming regression coefficients and the variances being the same in the two samples. The robustness of the method is verified when this hypothesis is violated, changing the variance of the data of the actual sample compared to data of the past sample. An approximated method to deal with this last situation is indicated