Spherical harmonics and positive definite functions

Estudamos sistematicamente os espaços harmônicos esféricos, os quais fornecem uma decomposição ortogonal para os espaços de Hilbert L2(Sd) das funções de quadrado integrável sobre a esfera unitária real d-dimensional Sd. Também estudamos propriedades dos polinômios de Legendre associados ao parâmetro d e de funções definidas positivas, com enfoque especial nas funções definidas positivas em Sd (d ≥ 2). Estas funções possuem uma expansão em série de polinômios de Gegenbauer associados ao parâmetro (d – 1) / 2, os quais são múltiplos dos polinômios de Legendre associados a (d+1), e surgem em diversas aplicações, como por exemplo em geoestatística e em problemas de interpolação. Como uma aplicação, apresentamos o operador integral e o operador diferencial, do tipo Montée e Descente, que quando aplicados em uma função definida positiva em Sd, preservam a propriedade de positividade definida alterando porém a dimensão da esfera para d+2 e d – 2, respectivamente.We systematically study the spherical harmonic spaces, which provide an orthogonal decomposition for the Hilbert spaces L2(Sd) of the square integrable functions defined in the unit real d-dimensional sphere Sd. We also study some properties of the Legendre polynomials associated to the parameter d and of positive definite functions, with emphasis on the positive definite functions on Sd (d ≥ 2). These functions can be expanded in series of Gegenbauer polynomials associated to the parameter (d – 1) / 2, which are multiples of the Legendre polynomials associated to (d+1), and arise in several application, for instance in geostatistics and in interpolation problems. As an application, we present integral and differential operators, called of Montée and Descente, which, applied to a positive definite function on Sd, preserve the positive definiteness property but changing the dimension of the sphere to d+2 or d – 2, respectivel