Cohomology of groups: from construction via resolutions to interpretation via derivations

In this work we approach some essential concepts and results of homological algebra, such as the concept of modules, homomorphisms between modules, free modules, modules over the RG ring, exact and semi-exact sequences (we are dealing here with chains complexes, since the cochains complexes have similar results), homomorphism modules and projective modules. In the study of chain complexes, we also approach chain transformations and chain homotopy, essential to show the uniqueness of free and projective resolutions. With these initial concepts of homological algebra, we had the objective of building free and projective resolutions and showing their independence through a homotopy of chains. We also brought, as examples, the normal resolution, the bar resolution and the normalized bar resolution. Given a resolution, which is a chains complex, applying HomR(−,A) we get a cochains complex and thus we are able to construct the cohomology groups of a group G, namely Hn(G,A), with n ∈ Z, which does not depend on the choice of resolution since the functor of the category of modules over RG in the category of abelian groups preserves homotopy of chains. Next, we make a relation of the n-th cohomology groups of G with their groups of (co)invariants and we make some calculations relating Hn(G,A) with AG and with AG. Finally, we perform the interpretation of H1(G,A) via derivation groups and main derivations, and we calculate some special cases, for example, when G = ⟨t⟩ ≈ Z is the infinite cyclic group and when G = ⟨t⟩ ≈ Zn is the finite cyclic group of order n, with n ∈ Z+.CNPq - Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e TecnológicoTrabalho de Conclusão de Curso (Graduação)Neste trabalho abordamos alguns conceitos e resultados essenciais da álgebra homológica, como o conceito de módulos, homomorfismos entre módulos, módulos livres, módulos sobre o anel RG, sequências exatas e semiexatas (tratamos aqui dos complexos de cadeias, pois os complexos de cocadeias possuem resultados análogos), módulos de homomorfismos e módulos de projetivos. No estudo dos complexos de cadeias também abordamos as transformações de cadeias e a homotopia de cadeias, essenciais para mostrar a unicidade das resoluções livres e projetivas. Tivemos com esses conceitos iniciais da álgebra homológica o objetivo de construir as resoluções livres e projetivas e mostrar sua independência por meio de uma homotopia de cadeias. Também trouxemos, como exemplos, a resolução normal, a resolução bar e a resolução bar normalizada. Dada uma resolução, que é um complexo de cadeias, aplicando HomR(−,A) obtemos um complexo de cocadeias e assim construímos os grupos de cohomologia de um grupo G, a saber Hn(G,A), com n ∈ Z, os quais independem da escolha da resolução pois o functor da categoria dos módulos sobre RG na categoria dos grupos abelianos preserva homotopia de cadeias. Na sequência, fazemos uma relação dos n-ésimos grupos de cohomologia de G com seus grupos de (co)invariantes e fazemos alguns cálculos relacionando Hn(G,A) com AG e com AG. Por fim, fazemos a interpretação de H1(G,A) via grupos de derivações e de derivações principais, e calculamos alguns casos especiais como, por exemplo, quando G = ⟨t⟩ ≈ Z é o grupo cíclico infinito e quando G = ⟨t⟩ ≈ Zn é o grupo cíclico finito de ordem n, com n ∈ Z+