Théories géométriques pour l'algèbre des nombres réels

International audienceWe try to obtain a dynamical theory describing the algebraic properties of the field of real numbers, as complete as possible, in constructive mathematics and without the axiom of dependent choice. This would be a first step towards a constructive version of O-minimal structures. In the present paper, we propose a theory which turns out to be very close from the classical theory of real closed local rings. We present the theory of real closed local rings in a constructive form, as a natural purely equational theory, using the virtual roots functions introduced in a previous work.On cherche a déterminer une théorie dynamique aussi complète que possible pour décrire les propriétés algébriques du corps des réels en mathéma-tiques constructives sans axiome du choix dépendant. Un but essentiel pour l'avenir est d'obtenir une version constructive des structures O-minimales. On propose ici une théorie qui s'avère très proche de la théorie des anneaux locaux réels clos en mathématiques classiques. La théorie des anneaux réels clos est présentée ici sous forme constructive comme une théorie purement équationnelle naturelle, qui utilise les fonctions racines virtuelles introduites dans des travaux antérieurs