Strong and Safe Nash Equilibrium in Some Repeated 3-Player Games

The paper examines an infinitely repeated 3-player extension of the Prisoner’s Dilemma game. We consider a 3-player game in the normal form with incomplete information, in which each player has two actions. We assume that the game is symmetric and repeated infinitely many times. At each stage, players make their choices knowing only the average payoffs from previous stages of all the players. A strategy of a player in the repeated game is a function defined on the convex hull of the set of payoffs. Our aim is to construct a strong Nash equilibrium in the repeated game, i.e. a strategy profile being resistant to deviations by coalitions. Constructed equilibrium strategies are safe, i.e. the non-deviating player payoff is not smaller than the equilibrium payoff in the stage game, and deviating players’ payoffs do not exceed the nondeviating player payoff more than by a positive constant which can be arbitrary small and chosen by the non-deviating player. Our construction is inspired by Smale’s good strategies described in Smale’s paper (1980), where the repeated Prisoner’s Dilemma was considered. In proofs we use arguments based on approachability and strong approachability type results.W pracy analizujemy grę nieskończenie powtarzaną 3-graczy będącą rozszerzeniem gry typu Dylemat Więźnia. Rozważamy grę 3-graczy w postaci normalnej z pełną informacją, w której każdy gracz ma dwa działania. Zakładamy, że gra jest symetryczna i powtarzana nieskończenie wiele razy. Strategią gracza w grze powtarzanej jest funkcja zdefinowana na uwypukleniu zbioru wypłat. Naszym celem jest skonstruowanie mocnej równowagi Nasha w grze powtarzanej, to znaczy profilu strategii, który jest odporny na odstępstwa od strategii równowagi przez koalicję graczy. Skonstruowane strategie równowagi są bezpieczne, to znaczy wypłata gracza, który nie odstępuje od strategii równowagi jest niemniejsza od wypłaty odpowiadającej równowadze w grze etapowej, oraz wypłata gracza odstępujacego od równowagi może być większa od wypłaty gracza nieodstępującego od strategii równowagi, ale nie więcej niż o pewną stałą dodatnią, która może być wybrana dowolnie mała przez gracza nieodstępującego od równowagi. Nasza konstrukcja jest inspirowana koncepcją dobrych strategii Smale’a opisaną w jego pracy z 1980 roku, gdzie rozważany był powtarzany Dylemat Więźnia. W dowodach wykorzystujemy wyniki o zbliżaniu oraz silnym zbliżaniu