Compound mixed Poisson distribution and its application in insurance

Celem niniejszej pracy jest zaproponowanie pewnego złożonego mieszanego rozkładu Poissona, korzystając z tego, że złożony rozkład Poisson–gamma jest szczególnym przypadkiem rozkładu Tweedie. Wykorzystujemy fakt, iż z kolei rozkład Tweedie należy do dyspersyjnej rodziny rozkładów wykładniczych. W tym celu w pierwszej części pracy rozważamy mieszany rozkład Poissona, w którym uwzględniamy zmienną nieobserwowalną. Następnie charakteryzujemy złożony mieszany rozkład Poissona. W drugiej części przedstawiamy możliwość wykorzystania tego rozkładu w szacowaniu oczekiwanej łącznej wartości szkód dla pojedynczego ryzyka w masowym portfelu ryzyk.The paper presents compound mixed Poisson distributions in the context of Tweedie distribution, since e.g. the compound Poisson-gamma distribution is its special case. We use the fact, that Tweedie distribution belongs to overdispersed exponential family of distributions. In the first part of the paper the problem of overdispersion is addressed by considering mixed Poisson distribution, where the unobserved variable is introduced. Then we specify compound mixed Poisson distribution. In the second part we present the possibilities of making use of this distribution in estimating the total claim costs for the individual risk in the automobile insurance portfolio