A Method of Determination of Generalized Quantile Hedging Strategy in Finite Incomplete Market

Problem dotyczy zabezpieczenia zobowiązania na skończonym rynku niezupełnym, gdy budżet nie wystarczy na pokrycie zobowiązania we wszystkich stanach. Wykorzystuje się postępowanie dwustopniowe. Po pierwsze, dla danego zobowiązania maksymalizuje się średni współczynnik sukcesu, którego argumentem jest zrandomizowany test. Po drugie, dla zobowiązania zmodyfikowanego za pomocą otrzymanego zrandomizowanego testu poszukuje się optymalnej strategii zabezpieczającej. W pierwszym etapie, po dyskretyzacji zbioru funkcji prawdopodobieństwa martyngałowego i cen sprzedaży zobowiązania, sprowadzamy maksymalizację zrandomizowanego testu do skończonego ciągu zadań programowania liniowego. Wyprowadzamy także kryterium osiągalności zmodyfikowanego zobowiązania. Drugi etap zależy od osiągalności zmodyfikowanego zobowiązania. Jeżeli jest ono osiągalne, to może być zreplikowane i strategia replikująca jest rozwiązaniem problemu osłony. Jeżeli nie jest ono osiągalne, to szukamy strategii, która jest rozwiązaniem układu nierówności nadosłony. Warunki nadosłony są sformułowane przy użyciu cen sprzedaży zobowiązania charakterystycznych dla modelu zdyskretyzowanegoThe paper concerns the hedging of the claim in a finite incomplete market when the initial ammount is not sufficient to cover the claim in all states. We use the two steps procedure. First, for the given claim we maximize the average success ratio dependent on the randomize test. Second, for the modified optimal claim with the obtained above test, we look for the optimal strategy. In the first step, after discretization of the martingale probability functions set and the upper hedging prices, we reduce the maximization of the randomized test to some finite set of linear programming problems. We also deduce the replicability criterion for the optimal modified claim. The second step depends on the replicability of the optimal modified claim. If it is replicable, then the replicating strategy is the solution of the hedging problem. If not, we need to look for the strategy solving the system of superhedging inequalities. The superhedging conditions are formulated using the upper hedging prices due to the discretization of the model