Contrôle et stabilisation internes de systèmes hyperboliques 1-D

In this thesis we study controllability and stabilization questions for some hyperbolic systems in one space dimension, with an internal control. The first question we study is the indirect internal controllability of a system of two coupled semilinear wave equations, the control being a function of time and space. Using the so-called fictitious control method, we give sufficient conditions for such a system to be locally controllable around 0, and a natural condition linking the minimal control time to the support of the control. Then, we study a particular case where the aforementioned sufficient conditions are not satisfied, applying the return method.The second question in this thesis is the design of explicit scalar feedbacks to stabilize controllable systems. The method we use draws from the backstepping method for PDEs elaborated by Miroslav Krstic, and its most recent developments: thus, the controllability of the system under consideration plays a crucial role. The method yields explicit stationary feedbacks which stabilize the linear periodic transport equation exponentially, and even in finite time.Finally, we implement this method on a more complex system, the so-called water tank system. We prove that the linearized systems around constant acceleration equilibria are controllable if the acceleration is not too strong. Our method then yields explicit feedbacks which, although they remain explicit, are no longer stationary and require the addition of an integrator in the feedback loop.Dans cette thèse nous étudions des questions de contrôlabilité et de stabilisation de certains systèmes hyperboliques en une dimension d’espace, avec un contrôle interne. La première question traitée est celle de la contrôlabilité interne indirecte d’un système de deux équations d’ondes semilinéaires couplées, avec un contrôle fonction du temps et de l’espace. A l’aide de la méthode dite des contrôles fictifs, nous donnons des conditions suffisantes pour qu’un tel système soit localement contrôlable autour de 0, ainsi qu’une condition naturelle reliant le temps minimal de contrôle et le support du contrôle. Puis, nous étudions un cas particulier où les conditions suffisantes ne sont pas vérifiées, en appliquant la méthode du retour.La seconde question est celle de la conception de feedbacks saclaires explicites pour stabiliser des systèmes dont on sait qu’ils sont contrôlables. La méthode employée est inspirée de la méthode du backstepping telle que développée par Krstic, et de ses développements les plus récents : ainsi, la contrôlabilité du système étudié joue un rôle prépondérant ici. Elle permet d’obtenir des feedbacks stationnaires explicites qui stabilisent une équation de transport linéaire périodique exponentiellement, voire en temps fini. Pour finir nous illustrons cette méthode sur un système plus complexe, dit du “bac d’eau”. Nous prouvons que les linéarisés autour de tout équilibre à accélération constante non-nulle sont contrôlables si l’accélération n’est pas trop grande. La méthode donne des feedbacks qui restent explicites, mais ne sont plus stationnaires, et nécessitent l’ajout d’un intégrateur dans la boucle de stabilisation