Couplage de modèles 'shallow water' à porosité à différentes échelles en présence d'anisotropie

This PhD thesis aims to study the coupling of nonlinear shallow water models at different scales, with application to the numerical simulation of urban floods. Accurate simulations in this domain are usually prohibitively expensive due to the small mesh sizes necessary for the spatial discretization of the urban geometry and the associated small time steps constrained by stability conditions. Porosity-based shallow water models have been proposed in the past two decades as an alternative approach, consisting of upscaled models using larger mesh sizes and time steps and being able to provide good global approximations for the solution of the fine shallow water equations, with much smaller computational times. However, small-scale phenomena are not captured by this type of model. Therefore, we seek to formulate a numerical model coupling the fine and upscaled ones, in order to obtain more accurate solutions inside the urban zone, always with reduced computational costs relatively to the simulation of the fine model. The guideline for this objective lays on the use of predictor-corrector iterative parallel-in-time numerical methods, which naturally fit to this fine/coarse formulation. We focus on the parareal, one of the most popular parallel-in-time methods. As a main challenge, temporal parallelization suffers from instabilities and/or slow convergence when applied to hyperbolic or advection-dominated problems, such as the shallow water equations. Therefore, we consider a variant of the method using reduced-order models (ROMs) formulated on-the-fly along parareal iterations, using Proper Orthogonal Decomposition (POD) and the Empirical Interpolation Method (EIM), being able to improve the stability and convergence of the parareal method for solving nonlinear hyperbolic problems. We investigate the limitations of this ROM-based parareal method and we propose a number of modifications that provide further stability and convergence improvements: enrichment of the input snapshot sets used for the model reduction procedure; formulation of local-in-time ROMs; and incorporation of an adaptive parareal approach recently presented in the literature. The original and ROM-based parareal methods, including the proposed improvements, are compared and evaluated in terms of stability, convergence towards the fine solution and numerical speedup obtained in a parallel implementation. In a first part, the methods are formulated, studied and implemented considering a set of numerical simulations coupling the classical shallow water equations (without the porosity concept) at different scales. After this initial study, we implement them for coupling the classical and the porosity-based shallow water models, for the simulation of urban floods.Cette thèse de doctorat porte sur l’étude du couplage des modèles de Saint-Venant non linéaires à différentes échelles, appliqué à la simulation numérique d’inondations urbaines. Des simulations précises dans ce domaine ont, en général, un coût computationnel prohibitif dû aux petites tailles de maille nécessaires pour la discrétisation spatiale de la géométrie urbaine et, par conséquent, les petits pas de temps restreints par des conditions de stabilité. Au cours des deux dernières décennies, des modèles de Saint-Venant à porosité ont été proposés comme une alternative, s’agissant des modèles à échelle élargie utilisant des mailles et des pas de temps plus grands, et capables de fournir des bonnes approximations globales aux solutions des modèles fins, avec un temps de calcul considérablement plus petit. Néanmoins, certains phénomènes à petite échelle ne sont pas capturés par ce type de modèle. Nous cherchons donc à formuler un modèle numérique couplant les modèles à petite et à large échelle, afin d’obtenir des solutions plus précises à l’intérieur des zones urbaines, toujours avec des temps de calcul plus petits par rapport à la simulation des modèles fins. La ligne directrice de ce travail est l’utilisation de méthodes itératives de parallélisation en temps, du type prédicteur-correcteur, qui s’adaptent naturellement à cette formulation fin/grossier. Nous nous concentrons sur la méthode Pararéel (parareal method), une des méthodes de parallélisation en temps les plus connues. Comme défi majeur, la parallélisation en temps présente en général des instabilités et une convergence lente dans le cadre de la résolution de problèmes hyperboliques ou dominés par l'advection, comme les équations de Saint-Venant. Nous considérons donc une variante de la méthode qui incorpore des modèles d’ordre réduit (Reduced-Order models - ROMs) formulés à la volée au cours des itérations de la méthode Pararéel, utilisant la décomposition orthogonale aux valeurs propres (Proper Orthogonal Decomposition - POD) et la méthode d'interpolation empirique (Empirical Interpolation Method - EIM), et capable d’améliorer la stabilité et la convergence de la méthode pour la résolution de problèmes hyperboliques non linéaires. Nous étudions les limitations de cette méthode Pararéel basée sur des ROMs et nous proposons des modifications qui fournissent des améliorations additionnelles à la stabilité et la convergence : l’enrichissement des données d’entrée pour les techniques de réduction de modèle ; la formulation des ROMs locaux en temps ; et l’incorporation d’une méthode Pararéel adaptative proposée récemment dans la littérature. La méthode Pararéel originale et celle basée sur des modèles réduits, y compris les modifications proposées, sont comparées et évaluées en termes de stabilité, convergence vers la solution du modèle fin et accélération de la simulation numérique obtenue dans une implémentation parallèle. Dans un premier temps, les méthodes et améliorations proposées sont formulées, étudiées et implémentées en considérant des simulations numériques couplant les équations de Saint-Venant classiques (sans le concept de porosité) à différentes échelles. Après cette étude initiale, nous appliquons les méthodes au couplage des équations classiques et des équations à porosité, pour la simulation d’inondations urbaines