Quelques problèmes d’évolution et de contrôle en mécanique quantique

In this thesis we study some problems of controllability, confinement, and transmission for the Schroödinger equation for some choices of Riemannian manifolds. We present a controllability test for the bilinear discrete spectrum Schrödinger equation that allows to conclude the approximate controllability of the system by checking the controllability of overlapping finite-dimensional projections and a weak spectral condition of the infinite-dimensional system. This test can be applied in particular to study the controllability problem for the quantum evolution on Riemannian manifolds, and it is particularly suited for systems with high degree of symmetry (and hence, severe spectral degeneracies). We specialize the technique to the Schrödinger equation on the physically relevant manifold rm SO(3): in this way we furnish a classification of the symmetries and the controllability properties of the quantum rotational dynamics of molecules. The symmetric or asymmetric rigid body is experiencing the interaction between its electric dipole moment and three orthogonal electric fields as controls, and the controllability problem is solved in terms of the inertia moments and the dipole configuration. As a byproduct of the geometric structure behind the control technique, we actually obtain stronger results such as approximate controllability of the density matrix and approximate controllability in finer topologies.La présente thèse étudie certains problèmes de contrôlabilité, de confinement et de transmission de l'équation de Schrödinger pour certains choix de variétés Riemanniennes. Nous présentons un test de contrôlabilité pour l'équation de Schrödinger bilinéaire à spectre discret qui permet de conclure la contrôlabilité approchée du système en vérifiant la contrôlabilité en dimension finie d'une famille infinie de projections et une condition spectrale faible du système en dimension infinie. Ce test peut être appliqué en particulier à l'étude du problème de la contrôlabilité de l'évolution quantique sur les variétés Riemanniennes, et il est particulièrement adapté aux systèmes à haut degré de symétrie (et donc à de sévères dégénérescences spectrales). Nous spécialisons la technique à l'équation de Schrödinger sur la variété physiquement pertinent rm SO(3) : de cette façon, nous fournissons une classification des symétries et des propriétés de contrôlabilité de la dynamique rotationnelle quantique des molécules. Le corps rigide symétrique ou asymétrique subit l'interaction entre son moment dipolaire et trois champs électriques orthogonaux comme contrôles, et le problème de contrôlabilité est résolu en termes de moments d'inertie et de configuration dipolaire. Grâce à la structure géométrique qui sous-tend la technique de contrôle, nous obtenons en fait des résultats plus généraux tels que la contrôlabilité approchée de la matrice de densité et la contrôlabilité approchée dans des topologies plus fines