A travers et autour des barycentres de Wasserstein

The optimal transportation problem originally introduced by G. Monge in 1781 and rediscovered by L. Kantorovich in 1942 consists in transformation of one mass distribution to another with the minimal amount of work. In this thesis, we consider some variational problems involving optimal transport. We are mainly motivated by the Wasserstein barycenter problem introduced by M. Agueh and G. Carlier in 2011, which provides a nonlinear averaging of probability measures. In this thesis, we deal with the following problems: • barycenters w.r.t. a general transportation cost, their existence and stability; • concentration and central limit theorem for empirical Wasserstein barycenters of Gaussian measures; • characterization, properties, and central limit theorem for entropy-penalized Wasserstein barycenters; • optimal transportation problem, regularized with the Dirichlet energy of a transport plan. Another part of the thesis is devoted to the complexity analysis of the iterative Bregman projections algorithm. This is a generalization of the well-known Sinkhorn algorithm, which allows us to find an approximate solution of the optimal transportation problem and the Wasserstein barycenter problem as well.Le problème du transport optimal, initialement introduit par G. Monge en 1781 et redécouvert par L. Kantorovich en 1942, consiste à transformer une distribution de masse en une autre avec le minimum de travail. Dans cette thèse, on considère quelques problèmes variationnels impliquant un transport optimal. On est principalement motivé par le problème du barycentre de Wasserstein introduit par M. Agueh et G. Carlier en 2011. On traite les problèmes suivants : • les barycentres par rapport à un coût général de transport, leur existence et leur stabilité; • concentration et théorème central limite pour les barycentres empiriques de Wasserstein des mesures gaussiennes; • caractérisation, propriétés et théorème central limite pour les barycentres de Wasserstein pénalisés par l’entropie; • le problème de transport optimal, pénalisé en l’énergie de Dirichlet d’un plan de transport. Une autre partie de la thèse est consacrée à l’analyse de la complexité de l’algorithme des projections itératives de Bregman. Il s’agit d’une généralisation de l’algorithme bien connu de Sinkhorn, qui nous permet de trouver une solution approximative du problème de transport optimal ainsi que du problème du barycentre de Wasserstein