Les corps multi-quadratiques p-rationnels

For each prime p, we prove the existence of infinitely many real quadratic p-rational number fields as well as the existence of a real and an imaginary bi-quadratic p-rational number field. Moreover for p = 3, we show the existence of infinitely many imaginary bi-quadratic 3-rational number fields. For p > 5 and F a real multi-quadratic p-rational number field with tame kernel of ordre prime to p, we prove the existence of infinitely many imaginary quadratic extensions of F, p-rational.Using a recent method developed by Greenberg, we deduce the existence of Galois extensions of Q whose Galois groups are isomorphic to open subgroups of GLn(Zp) for n = 4 and n = 5 and at least for all p ≤ 718.328.637. Finally, we give a new reformulation of the conjectures of Ankeny-Artin-Chowla and Mordell, in terms of the p-rationality of Q(√p).Pour chaque nombre premier p, nous prouvons l’existence d’une infinité de corps quadratiques réels p-rationnels ainsi que l’existence d’un corps bi-quadratique réel et d’un corps bi-quadratique imaginaire p-rationnel. De plus pour p = 3, nous montrons l’existence d’une infinité de corps bi-quadratiques imaginaires 3-rationnels. Pour p > 5 et F un corps multi-quadratique réel p-rationnel tels que le noyau modéré de F est d’ordre premier à p, nous montrons l’existence d’une infinité d’extensions quadratiques imaginaires p-rationnelles de F. En utilisant une méthode récente développée par Greenberg, nous déduisons l’existence des extensions galoisiennes de Q dont les groupes de Galois sont isomorphes à des sous-groupes ouverts de GLn(Zp) pour n = 4 et n = 5 et au moins pour tout p ≤ 718.328.637. Finalement, nous donnons une nouvelle reformulation des conjectures de Ankeny-Artin-Chowla et de Mordell, en terme de la p-rationalité de Q(√p)