Modélisation mathématique pour le market making et autres problèmes de liquidité sur les marchés financiers.

On a given market, a market maker is in charge of providing liquidity for one (or more) asset(s) by proposing at all time a price at which she is ready to buy the asset and a price at which she is ready to sell it. The market maker aims at maximzing her expected PnL, while controlling the risk to which she is exposed. Mathematically, this translates as a problem of optimal control of point processes. In particular, we propose a multi-asset market making model including stochastic transaction sizes (unlike existing models), solved using a verification approach, as well as a model taking into account the possibility for the market maker to liquidate its inventory on a dealer-to-dealer segment of the market, thereby exposing herself to transaction costs linked to her impact on the price; the resolution of this second problem uses the theory of viscosity solutions. Two techniques are proposed in order to approach the solutions of these models in high dimension: a factorial approach allowing to reduce the dimension of the problem, as well as a perturbative approach allowing to approximate the HJB equation by a system of Riccati equations. Finally, the last two chapters of this thesis focus on the one hand on the problem of an exchange seeking to set an optimal tick size to increase liquidity on its platform, and on the other hand on a problem of optimal liquidation of a portfolio of co-integrated assets.Sur un marché donné, un market maker est chargé de fournir de la liquidité sur un (ou plusieurs) actif(s) en proposant à chaque instant un prix auquel il est prêt à acheter l'actif et un prix auquel il est prêt à le vendre. Le market maker cherche à maximiser l'espérance de ses gains, tout en contrôlant le risque auquel il s'expose. Mathématiquement, il s'agit d'un problème de contrôle optimal de processus ponctuels. Nous proposons notamment un modèle de market making multi-actifs incluant des tailles de transaction variables (contrairement aux modèles existants), résolu à l'aide d'une approche par vérification, ainsi qu'un modèle prenant en compte la possibilité pour le market maker de liquider son inventaire sur un marché interbancaire, en s'exposant alors à des coûts de transaction liés à son impact sur le prix; la résolution de ce second problème fait appel à la théorie des solutions de viscosité. Deux techniques sont proposées afin d'approcher les solutions de ces modèles en grande dimension: une approche factorielle permettant de réduire la dimension du problème, ainsi qu'une approche perturbative permettant d'approcher les équations de HJB par des systèmes d'équations de Riccati. Enfin, les deux derniers chapitres de cette thèse s'intéressent d'une part au problème d'un exchange cherchant à fixer une taille de tick optimale pour augmenter la liquidité sur sa plateforme, et d'autre part à un problème de liquidation optimale d'un portefeuille d'actifs co-intégrés