On the limit spectrum of a degenerate operator in the framework of periodic homogenization or singular perturbation problems

International audienceIn this paper we perform the analysis of the spectrum of a degenerate operatorcorresponding to the stationary heat equation in a -periodic composite medium having two components with high contrast diffusivity. We prove that althoughis a self-adjoint operator with compact resolvent, its limitwhen the size of the medium tends to zero is a non self-adjoint operator whose spectrum is bounded by positive constants depending on the first eigenvalue of the one-dimensional Laplacian inand the first eigenvalue of the bi-dimensional Laplacian with mixed boundary conditions on the representative cell . Furthermore, we show that the homogenized problem and the one-dimensional limit problem obtained by the reduction of dimension occurring locally are identical except for one boundary condition which is a homogeneous Neumann condition on the boundary of in the problem and a periodicity condition in the case of homogenization.Dans ce travail, nous analysons le spectre d’un opérateur dégénérécorrespondant à l’équation de la chaleur stationnaire dans un milieu composite -périodique ayant deux composantes avec des coefficients de conductivité à fort contraste. Nous montrons que bien quesoit un opérateur auto-adjoint à résolvante compacte, sa limitelorsque la période tend vers est un opérateur non auto-adjoint dont le spectre est borné par des constantes positives ne dépendant que de la première valeur propre du Laplacien uni-dimensionnel danset de la première valeur propre du Laplacien bi-dimensionnel avec conditions au bord mixtes sur la cellule de référence . Nous montrons en outre que le problème homogénéisé et le problème limite obtenu après réduction de dimension intervenant localement sont identiques, à une condition aux limites près, la condition de Neumann homogène sur le bord de dans le problème devant être remplacée dans le problème homogénéisé par une condition de périodicité