Domain parameterization with THB-splines

Isogeometric Analysis verwendet sowohl für die geometrische Beschreibung eines Gebiets als auch für die Darstellung der Lösung, die durch numerische Simulation berechnen wird, den gleichen Spline-Raum. Üblicherweise werden hier Tensorprodukt-Splineräume verwendet. Aufgrund ihrer guten Eigenschaften sind die, diesen Räumen zugrunde liegenden, B-Splines sowohl für geometrische Modellierung als auch für die numerische Simulation hervorragend geeignet. Allerdings erlauben klassische B-Splines keine lokale Verfeinerung. Um diesen Nachteil zu überwinden, wurden mehrere Spline-Räume eingeführt, die eine lokale Verfeinerung ermöglichen. Eine Möglichkeit dafür besteht in der Verwendung von hierarchischen Spline-Räumen. Dazu betrachten wir die klassische Basis der hierarchischen B-Splines und die erst kürzlich eingeführten trunkierten hierarchischen B-Splines (THB-Splines). Im ersten Teil der Arbeit präsentieren wir Methoden zur Implementierung der hierarchischen Basen. Besonderes Augenmerk wird dabei auf eine effiziente Auswertung der Basisfunktionen gelegt, da dies für geometrische und numerische Anwendungen von besonderer Bedeutung ist. Wir untersuchen außerdem den Unterschied der Funktionsauswertung für beide Basis-Darstellungen in Bezug auf den Rechenaufwand. Im Rest der Arbeit beschäftigen wir uns mit dem Problem der Parametrisierung eines Gebiets, von dem nur der Rand vorgegeben ist. CAD-Systeme stellen für gewöhnlich nur den Rand eines Gebiets dar, während Isogeometric Analysis jedoch eine Spline-Parametrisierung des gesamten Gebiets erfordert. Zuerst behandeln wir das Parametrisierungsproblem für ein einfach zusammenhängendes, ebenes Gebiet, das durch einen einzelnen Spline-Patch dargestellt werden kann. Wir präsentieren und vergleichen drei Methoden, die ein Gebiet parametrisieren, das durch vier Randkurven vorgegeben ist. Wir untersuchen dabei den Trade-off zwischen dem Rechenaufwand und dem Schwierigkeitsgrad für ein gegebenes Problem. Die lineare direkte Methode bestimmt die Parametrisierung als Lösung eines linearen Systems. Die nichtlineare direkte Methode ist eine Erweiterung der linearen Methode und verwendet dazu nichtlineare Funktionale. Die indirekte Methode verwendet die Theorie der harmonischen Abbildungen, um eine reguläre Parametrisierung zu erhalten. Für alle drei Ansätze können THB-Splines zur adaptiven Verfeinerung eingesetzt werden. Anschließend betrachten wir das Parametrisierungsproblem für ein ebenes, nicht einfach zusammenhängendes Gebiet. Dazu bestimmen wir eine harmonische Abbildung zwischen dem Gebiet und einem einfachen konvexen Referenzgebiet mit vordefinierter Segmentierung. Die harmonische Abbildung überträgt dabei die Segmentierung vom Referenzgebiet auf das Gebiet. Mit Hilfe der harmonischen Abbildung parametrisieren wir das Gebiet mittels hierarchischen Multi-Patch-Splines. Zum Abschluss präsentieren wir eine Parametrisierungsmethode für ein beliebiges dreidimensionales Gebiet, welches durch seine Begrenzungsflächen definiert ist. Wir benutzen bekannte Algorithmen zur Segmentierung des Gebiets in Teilgebiete, die topologisch äquivalent zu Hexaedern sind. Eine Verallgemeinerung der direkten linearen Methode, in Kombination mit der 3D Gordon-Coons Parametrisierung der Hexaeder, erzeugt eine volumetrische Multi-Patch Parametrisierung des gesamten Gebiets. Hier ist die Verwendung von trivariaten THB Splines besonders wichtig, um die Anzahl der Freiheitsgrade überschaubar zu halten.Isogeometric analysis uses the same spline space for the geometrical description of the domain and for the representation of the solution that is computed by a numerical simulation on the domain. Traditionally one considers mostly spline spaces spanned by tensor-product B-splines. These B-splines possess several useful properties which make them well suited not only for the geometrical description but also for numerical simulations. Tensor-product B-splines, however, do not allow local refinement. In order to address this drawback, many spline spaces which permit local refinement were introduced. Among other possibilities, one considers hierarchical spline spaces, which can be generated by the hierarchical B-splines or by the recently introduced truncated hierarchical B-splines (THB-splines). These two constructions will be investigated in this thesis. In the first part of the thesis, we present techniques for the implementation of the hierarchical bases. Special attention is devoted to an efficient evaluation of the basis functions, since this is a cornerstone of geometrical and numerical applications. We also examine the difference between the computational costs of the evaluation in both bases. Isogeometric analysis requires a spline parameterization of the domain. However, the CAD systems only provide a boundary representation of the domain. This leads to the problem of constructing a parameterization of the whole domain from the boundary representation, which will be addressed in the second part of the thesis. We analyze a single-patch planar domain parameterization problem. We present three techniques for creating parameterizations of domains which are defined by the four boundary curves. The techniques address the trade-off between the computational effort and the level of difficulty of a specific instance of the problem. The linear direct method computes the parameterization by solving a single linear system. The nonlinear direct method uses functionals to improve the result of the previous method. The indirect method employs the theory of harmonic mappings to obtain a regular parameterization. All three approaches benefit from the adaptive techniques of THB-splines. Next, we consider a planar domain parameterization problem of multiply connected domains. We study the harmonic mapping between the domain and a simple convex template with predefined segmentation. The harmonic mapping transfers the segmentation of the template to the domain. Using the mapping and the structure of the template, we parameterize the domain by multi-patch hierarchical splines. Finally, we present a parameterization approach for an arbitrary volumetric domain, which is represented by its boundary surfaces. We use already known algorithms to segment the domain into topological hexahedra. The generalized direct linear method together with 3D Gordon-Coons parameterizations of the hexahedra produces a volumetric multi-patch parameterization. Using trivariate THB-splines is especially important in this case, since the number of degrees of freedom becomes unmanageable.eingereicht von Jaka Ṡ́pehZusammenfassung in deutscher SpracheUniversität Linz, Dissertation, 2016OeBB(VLID)143852