Constructions and Properties of Adaptively Refined Multilevel Spline Spaces

Die trunkierten hierarchischen B-Splines (THB-Splines), welche auf Gebieten im d-dimensionalen Raum R d definiert sind, wurden eingefuehrt, um adaptive Verfeinerung im geometrischen Design und in der numerischen Simulation (insbesondere im Rahmen der Isogeometric Analysis) zu ermoeglichen und werden in verschiedenen Anwendungen eingesetzt (Giannelli et al., 2012; 2016). Sie besitzen vorteilhafte Eigenschaften: sie sind linear unabhaengig, bilden eine nichtnegative Zerlegung der Eins, haben einen kleineren Traeger als klassische hierarchische B-Splines, erhalten die Koeffizienten der lokalen Darstellungen und verfuegen ueber gute Stabilitaetseigenschaften. Das Ziel dieser Arbeit ist es, die Konstruktion der THB-Splines im Sinne der drei folgenden Aspekte zu verallgemeinern: Erstens erweitern wir die Konstruktion von THB-Splines auf Systeme von Funktionen, deren lineare Unabhaengigkeit moeglicherweise nicht gegeben ist. Das dabei eingefuehrte (trunkierte) hierarchische Erzeugendensystem uebernimmt viele der vorteilhaften Eigenschaften der (T)HB-Splines. Insbesondere betrachten wir zwei spezielle Anwendungen dieser Verallgemeinerung, und zwar einerseits eine Hierarchie der hierarchischen B-Splines und andererseits trunkierte hierarchische Zwart-Powell-Elemente. Zwart-Powell-Elemente sind spezielle Box-Splines, die auf der Typ-2-Triangulierung definiert sind. Diese Splines besitzen lineare Abhaengigkeiten, die sich auf das hierarchische Erzeugendensystem vererben. Wir zeigen, wie diese Abhaengigkeiten identifiziert werden koennen und verwenden dieses Resultat, um adaptive Flaechenrekonstruktion durchzufuehren. Zweitens verallgemeinern wir die bestehende Konstruktion auf Funktionen, die auf Mannigfaltigkeiten definiert sind, wie z.B. Unterteilungsfunktionen. Insbesondere untersuchen wir drei Unterteilungsschemata, das Catmull-Clark-, das Loop-, und das (modifizierte) Butterfly-Verfahren (Catmull, Clark, 1978; Loop, 1987, Zorin et al., 1996). Wir betrachten sichere Teilmengen des Definitionsbereichs, um die lineare Unabhaengigkeit des Systems der hierarchischen trunkierten Unterteilungsfunktionen zu garantieren. Diese sicheren Teilmengen bilden einen Katalog, der bei der Konstruktion der hierarchischen Gebiete verwendet wird, um die lineare Unabhängigkeit des hierarchischen Systems zu sichern. Drittens betrachten wir eine Folge von Tensorprodukt-Spline-Raeumen, die nur teilweise geschachtelt sind, wodurch wir voneinander unabhaengige Verfeinerungen in verschiedenen Teilen eines Modells ausfuehren koennen. Die trunkierten B-Splines fuer teilweise geschachtelte Verfeinerung sind durch ihre lokalen Darstellungen auf den Patches, in die der Definitionsbereich zerlegt wird, festgelegt. Unter bestimmten Voraussetzungen sind sie linear unabhaengig, bilden eine Zerlegung der Eins, und besitzen sowohl die Eigenschaft der Koeffizientenerhaltung als auch die Glattheit der zugrunde liegenden Spline-Raeume. Im Spezialfall geschachtelter Raeume erhaelt man die bereits bekannten THB-Splines. Diese drei Verallgemeinerungen werden in einen einheitlichen Rahmen eingebettet, welcher auch THB-Splines und weitere in der Literatur beschriebene Konstruktionen umfasst. Beispiele dafuer sind hierarchische Analyse-geeignete T-Splines (Evans et al., 2015), quasi-hierarchische Powell-Sabin-Splines (Speleers et al., 2009) und (trunkierte) hierarchische Multi-Patch-B-Splines mit erhoehter Glattheit (Buchegger et al., 2016).Motivated by the necessity to perform adaptive refinement in geometric design and numerical simulations, truncated hierarchical B-splines (THB-splines) for nested spaces of spline functions defined on domains in R d have been introduced (Giannelli et al., 2012). They possess advantageous properties, including linear independence, the partition of unity property, smaller support of the basis functions compared to classical hierarchical B-splines, preservation of coefficients and strong stability, which makes them highly useful in various applications (Giannelli et al., 2016). It is the main goal of this thesis to extend the existing framework of THB-splines in three ways: First, we generalize this construction beyond B-splines to a wider class of functions, which might be linearly dependent. We define the (truncated) hierarchical generating system, which inherits many advantageous properties of the THB-splines. As applications of this generalization, we introduce a hierarchy of hierarchical B-splines and truncated hierarchical Zwart-Powell elements, which are special box splines defined on the type-2 triangulations. In the latter case we show how to identify the linear dependencies that are present in the truncated hierarchical generating system and use this result to perform adaptive surface fitting. Second, we extend the existing construction to spline functions that are defined on domain manifolds, in particular focusing on the case of subdivision splines generated by Catmull-Clark (Catmull, Clark, 1978), Loop (Loop, 1987), and the (modified) Butterfly (Zorin et al., 1996) subdivision schemes. We introduce the concept of safe subsets, which allows us to guarantee linear independence of the (truncated) hierarchical subdivision splines. We provide a catalog of safe subsets that facilitates the design of domain hierarchies with linearly independent (truncated) hierarchical generating systems. Third, we consider a sequence of tensor-product spline spaces, which are only partially nested, thereby allowing for unrelated refinements in different parts of the model. The truncated B-splines for partially nested refinement are defined by their local representations on patches, which partition the parameter domain. Under certain conditions, they are shown to be linearly independent, form a partition of unity, possess the preservation of coefficients property, and inherit the smoothness of the underlying spline spaces. The construction results in the standard THB-splines, provided that the spaces form a nested sequence. Finally, we identify the three generalizations as examples of the unified framework, which encompasses not only THB-splines and the three constructions mentioned above, but also other hierarchical constructions, including hierarchical analysis-suitable T-splines (Evans et al., 2015), quasi-hierarchical Powell-Sabin splines (Speleers et al., 2009) and (truncated) hierarchical multi-patch B-splines with enhanced smoothness (Buchegger et al., 2016).eingereicht von Urška ZoreUniversität Linz, Dissertation, 2016OeBB(VLID)127394