Sous-algèbres de l'algèbre de Steenrod équivariante et une propriété de détection pour la K-théorie d'Atiyah

The aim of this work is to study the real connective K-theory of elementary abelian 2-groups i.e. for an elementary abelian 2-group V , we want to understand kR^{\star}(BV ). This object contains inter alia orthogonal connective K-theory ko and unitary connective K-theory ku of elementary abelian 2-groups, and has a natural strucure of module over Z[v1], where v1 is the real Bott class : an equivariant lift to real K-theory of the classical Bott class un unitary K-theory. Using methods of Z/2-equivariant stable homotopy theory, and particularly the slice tower, a natural tower in stable homotopy theory introduced by the recent work of Hill-Hopkins-Ravenel, we show that the elements of torsion with respect to the real Bott class in the real connective K-theory of elementary abelian 2-groups are anihilated by v2 1. We study in detail the Z/2-equivariant Steenrod algebra A, the algebra of operations in HF2- cohomology, and its relationship with the non-equivariant mod 2 Steenrod algebra. In particular, we exhibit for any integer n, some subalgebra of the equivariant Steenrod algebra E(\beta_0,...,\beta_n), generated by some operations \beta_i, for i a natural number. These algebras are Z/2-equivariant version of the well known subalgebras of non-equivariant mod 2 Steenrod algebra, generated by the n+1 first Milnor operations. We then bring our attention to relative homological algebra in the category of E(\beta_0,\beta_1)-modules, relativized with respect to the subring E(\beta_0). We introduce general computationnal tools to determine every relative extension groups Ext(F2,HF2^{\star}(BV )). We define the notion of h-detection for a general tower in a triangulated category, and in the particular case of connected real K-theory, relate it to an estimatite of v1-torsion. We then study more precisely the cases h = 1 and h = 2, and determine the obstruction for a tower to satisfy such properties. We show that the obstruction for 2-detection for the slice tower of real K-theory is controlled by Ext(F2,HF2^{\star}(BV )), which has already been computed. The result about v1-torsion of real K-theory of elementary abelian 2-groups then folows. One of the applications of this fact is an explicit determination of kR^{\star}(BV ).L'objectif de ce travail est l'étude de la K-théorie réelle connexe des 2-groupes abéliens élémentaires, c'est-à-dire, pour V un 2-groupe abélien élémentaire, l'objet kR^{\star}(BV ). Cet objet contient, entre autres, la K-théorie orthogonale connexe ko et la K-théorie unitaire connexe ku des 2-groupes abéliens élémentaires, et est naturellement muni d'une structure de Z[v1]-module, où v1 désigne la classe de Bott réelle, un relèvement équivariant en K-théorie réelle de la classe de Bott en K-théorie unitaire. En utilisant des outils provenant de la théorie d'homotopie stable Z/2-équivariante, et en particulier la tour des tranches, une tour naturelle dans la catégorie stable équivariante introduite dans les travaux récents de Hill, Hopkins et Ravenel, on montre que les éléments de torsion pour la classe de Bott réelle dans la K-théorie réelle des 2-groupes abéliens élémentaires sont annulés par la multiplication par v2 1. On effectue une étude détaillée de l'algèbre de Steenrod Z/2-équivariante A, constituée des opérations en HF2-cohomologie, et de sa relation avec l'algèbre de Steenrod classique modulo 2. On exhibe en particulier, pour tout entier n, des sous-algèbres extérieures de l'algèbre de Steenrod équivariante E(\beta_0,...,\beta_n), générées par certaines opérations \beta_ i, i entier, qui est une version Z/2-équivariante de la sous algèbre de l'algèbre de Steenrod modulo 2 engendrée par les n+1 premières opérations de Milnor. On s'intéresse ensuite l'algèbre homologique relative, dans la catégorie des E(\beta_0,\beta_1)-modules, relativement au sous-anneau E(\beta_0), et on introduit des outils de calcul très généraux permettant en particulier de déterminer tous les groupes d'extension relatifs Ext(F2,HF2^{\star}(BV )). On introduit ensuite la propriété de h-détection pour une tour d'objets dans une catégorie triangulée, et on relie les propriétés de h-détection à l'estimation de la v1-torsion de la K-théorie réelle connexe. On étudie ensuite l'obstruction pour qu'une tour vérifie la propriété de h-détection, pour h = 1 ou 2. On montre ensuite que l'obstruction pour que la tour des tranches de la K-théorie réelle vérifie la propriété de 2-détection est contrôlée par Ext(F2,HF2^{\star}(BV )), qu'on a calculé précédemment. Le résultat précédent concernant la v1-torsion de la K-théorie réelle des 2-groupes abéliens élémentaires suit. Une des applications de ce résultat est une détermination explicite de kR^{\star}(BV )