Comportamiento asintótico en tiempo de ecuaciones en derivadas parciales no locales

En las últimas décadas muchos investigadores han estado interesados en estudiar problemas no locales por su utilidad en las aplicaciones reales. En esta tesis doctoral se analizan ecuaciones parabólicas con difusión no local que pueden usarse para modelar el comportamiento de poblaciones así como para estudiar la propagación del calor. Este trabajo está dividido en siete capítulos. En el capítulo 1 realizamos una descripción de la teoría abstracta de atractores pullback en el marco de los universos, la cual se utiliza en los Capítulos 2, 3 y 4 para analizar el comportamiento asintótico de las soluciones. Concretamente, en el Capítulo 2, consideramos una ecuación parabólica no local con términos sublineales y no autónomos. En primer lugar se estudia la existencia y unicidad de solución débil y fuerte haciendo uso de las aproximaciones de Galerkin y argumentos de compacidad. A continuación, se obtiene la unicidad de solución estacionaria junto con el decaimiento exponencial de la solución del problema evolutivo hacia la estacionaria bajo determinadas condiciones. Finalmente, se demuestra la existencia de atractores pullback en L2() y H1 0 (). Para ello probamos la compacidad asintótica pullback haciendo uso de un método de energía que utiliza la continuidad de las soluciones. En el Capítulo 3 analizamos una ecuación de reacción-difusión no local en presencia de términos no autónomos. Para demostrar la existencia de solución débil usamos un dominio regular debido a la base elegida para realizar los argumentos de compacidad. Además, realizamos algunas aportaciones en el marco estacionario: demostramos la existencia de soluciones no triviales y un resultado de comparación entre la solución del problema evolutivo y dos soluciones estacionarias. A continuación estudiamos el comportamiento asintótico de las soluciones, demostrando la existencia de atractores pullback en norma L2(). En este capítulo, para demostrar la existencia de atractores pullback en H1 0 (), necesitamos imponer algunas restricciones al término de reacción. En las últimas décadas muchos investigadores han estado interesados en estudiar problemas no locales por su utilidad en las aplicaciones reales. En esta tesis doctoral se analizan ecuaciones parabólicas con difusión no local que pueden usarse para modelar el comportamiento de poblaciones así como para estudiar la propagación del calor. Este trabajo está dividido en siete capítulos. En el capítulo 1 realizamos una descripción de la teoría abstracta de atractores pullback en el marco de los universos, la cual se utiliza en los Capítulos 2, 3 y 4 para analizar el comportamiento asintótico de las soluciones. Concretamente, en el Capítulo 2, consideramos una ecuación parabólica no local con términos sublineales y no autónomos. En primer lugar se estudia la existencia y unicidad de solución débil y fuerte haciendo uso de las aproximaciones de Galerkin y argumentos de compacidad. A continuación, se obtiene la unicidad de solución estacionaria junto con el decaimiento exponencial de la solución del problema evolutivo hacia la estacionaria bajo determinadas condiciones. Finalmente, se demuestra la existencia de atractores pullback en L2() y H1 0 (). Para ello probamos la compacidad asintótica pullback haciendo uso de un método de energía que utiliza la continuidad de las soluciones. En el Capítulo 3 analizamos una ecuación de reacción-difusión no local en presencia de términos no autónomos. Para demostrar la existencia de solución débil usamos un dominio regular debido a la base elegida para realizar los argumentos de compacidad. Además, realizamos algunas aportaciones en el marco estacionario: demostramos la existencia de soluciones no triviales y un resultado de comparación entre la solución del problema evolutivo y dos soluciones estacionarias. A continuación estudiamos el comportamiento asintótico de las soluciones, demostrando la existencia de atractores pullback en norma L2(). En este capítulo, para demostrar la existencia de atractores pullback en H1 0 (), necesitamos imponer algunas restricciones al término de reacción. 4 hacemos uso de técnicas diferentes a las empleadas en los capítulos anteriores para probar la compacidad asintótica. Los problemas analizados en los capítulos restantes de esta tesis, concretamente en los capítulos 6 y 7, están planteados en un marco multivaluado, ya que no podemos garantizar la unicidad de solución bajo las hipótesis impuestas. Para ello, en el Capítulo 5, estudiamos algunos resultados abstractos sobre sistemas dinámicos multivaluados para procesos. Dénimos algunos conceptos básicos y estudiamos varios resultados que nos permiten garantizar la existencia de atractores pullback en este nuevo marco y establecer relaciones entre estas familias. A continuación, en el Capítulo 6, estudiamos una ecuación de reacción-difusión no local sin unicidad de solución con una pequeña perturbación en el término de difusión y en la fuerza no autónoma. Demostramos la existencia de solución débil y fuerte, así como la existencia de atractores pullback en L2() y H1 0 (). Además estudiamos la propiedad de semicontinuidad superior de la familia de atractores pullback dependiente del parámetro cuando éste tiende a cero. En el Capítulo 7, analizamos un problema autónomo en el que el término de difusión está constituido por un operador no local y el p-Laplaciano, generalizando así la difusión con respecto a los capítulos anteriores, en los que todos los análisis se hicieron para el Laplaciano. En primer lugar, demostramos la existencia de solución débil, a través de un cambio de variable temporal, así como una propiedad de regularización del problema analizado. Además estudiamos el comportamiento asintótico de las soluciones demostrando la existencia del atractor global en L2(). Para analizar este proyecto, proporcionamos una lista de problemas y cuestiones abiertas que estamos analizando o que queremos abordar próximamente en el marco no local