Une approche algorithmique pour le calcul de l'homologie de fonctions continues

Les mathématiques d'aujourd'hui requièrent une adaptation rapide à une réalité largement dominée par une utilisation étendue des outils informatiques. Le développement grandissant de ces derniers peut alors profiter aux mathématiques par un apport direct dans la vérification de certaines propriétés réputées très longues et difficiles. Il est pour cela important de trouver des moyens (théories convenables) permettant de transformer et/ou réduire un problème mathématique donné à un problème concernant les ensembles finis (objets qu'on peut coder par un nombre fini de données). Les preuves assistées par ordinateur de la présence du chaos dans les équations de Lorenz sont des exemples d'apports concrets de cette adaptation. Il est à noter qu' à la différence des preuves formelles faites avec l'ordinateur, les preuves assistées par ordinateurs sont conduites d'abord de façon rigoureuse et l'ordinateur n'intervient que lors de la vérification de certaines propriétés découlant de calculs numériques fastidieux lesquels sont soumis systématiquement à une analyse rigoureuse pour cerner les erreurs d'arrondis et de troncatures. Le calcul de l'homologie d'un ensemble ou d'une fonction s'inscrivent tout naturellement dans ces démarches. Grâce à l'introduction des notions d'ensembles et d'applications multivoques représentables comme outils de transition entre les objets des mathématiques du continua ayant de bonnes propriétés topologiques et les ensembles finis, nous entreprenons dans le cadre de cette thèse l'algorithmisation du calcul de l'homomorphisme induit dans l'homologie par une application continue. Ce procédé renforce l'idée de développer une discipline qui étudie les aspects combinatoires et calculatoires de problèmes à caractère topologique et qui a pour but la production d'algorithmes qui permettent le calcul avec l'ordinateur de structures et d'invariants topologiques