Modelisation hyperbolique et analyse numerique pour les ecoulements en eaux peu profondes

president du jury : bruno despres (paris 6)rapporteurs : remi abgrall (bordeaux 1) sebatian noelle (aachen)In this work we study some hyperbolic conservation laws related to shallow water flows.First we consider the Saint-Venant system with source terms and we develop a second order bidimensional well-balanced finite volumes scheme that is based on a kinetic interpretation of the system and on a hydrostatic reconstruction of the interfaces values. The scheme is consistent and conservative and it preserves the non-negativity of the water height.Then we extend the kinetic interpretation to the coupling with a transport equation. We construct a two time steps scheme that takes into account all the eigenvalues of the problem. This approach preserves the stability properties of the system and reduces the numerical diffusion and the computational cost.\\We also present a new multilayer Saint-Venant system that allows us to obtain non constant vertical velocity profiles while preserving an invariant two dimensional domain of calculation. We present the derivation of the system and we study its stability - energy, hyperbolicity. We also investigate its relation with other fluid models and we perform its numerical implementation. Finally we prove a uniqueness theorem for scalar conservation laws with discontinuous flux. Our proof uses a new family of entropies that are a natural way to adapt classical Kruzkov's entropies to the discontinuous case. This new method avoids the making of some classical hypothesis on the flux such as convexity, BV bounds or finite number of dicontinuities and does not need the definition of some interface condistion.Nous etudions dans cette these differentes lois de conservation hyperboliques associees a la modelisation des ecoulements en eaux peu profondes.Nous nous consacrons d'abord a l'analyse numerique du systeme de Saint-Venant avec termes sources. Nous presentons un schema volumes finis bidimensionnel d'ordre 2, conservatif et consistant, qui s'appuie sur une interpretation cinetique du systeme et une methode de reconstruction hydrostatique des variables aux interfaces. Ce schema preserve la positivite de la hauteur d'eau et l'etat stationnaire associe au lac au repos.Nous etendons ensuite l'interpretation cinetique au couplage du systeme avec une equation de transport. Nous construisons un schema volumes finis a deux pas de temps, qui permet de prendre en compte les differentes vitesses de propagation de l'information presentes dans le probleme. Cette approche preserve les proprietes de stabilite du systeme et reduit sensiblement la diffusion numerique et les temps de calcul.Nous proposons egalement un nouveau modele de Saint-Venant multicouche, qui permet de retrouver des profils de vitesse non constants, tout en preservant le caractere invariant et bidimensionnel du domaine de definition. Nous presentons sa derivation a partir des equations de Navier-Stokes et une etude de stabilite - energie, hyperbolicite. Nous etudions egalement ses relations avec d'autres modeles fluides et sa mise en oeuvre numerique, la encore basee sur l'utilisation des schemas cinetiques.Enfin nous etablissons un theoreme d'unicite pour les lois de conservation scalaires avec flux discontinus. La preuve est basee sur l'utilisation d'une nouvelle famille d'entropies, qui constituent une adaptation naturelle des entropies de Kruzkov classiques au cas discontinu. Cette methode permet de lever certaines hypotheses classiques sur le flux - convexite, existence de bornes BV, nombre fini de discontinuites - et ne necessite pas l'introduction d'une condition d'interface