Variational data assimilation for locally nested models

Nested models are commonly used in meteorology and oceanography. Such systems allow a local increase of the mesh resolution in areas where it seems to be necessary, by running the same model on a hierarchy of grids. In the cas of one-way interaction, coarse grid solution provides (by interpolation) boundary conditions for the high resolution grid. In the case of two-way interaction, a feedback from the fine grid to the coarse grid is added. However, the problem of variational data assimilation in such systems has not, or not very, been studied. These classes of methods, notably the 4D-Var algorithm, allow improvements of the solution of the model, up to here monogrid, by minimizing a cost function mesuring the gap of this model and the observations. The aim of this work is to formulate a variational assimilation algorithm locally multigrids. For the generic case of a local high resolution grid embedded within a coarser resolution one, we derive the adjoint system in the two cases of one-way and two-way interactions. It is shown that the adjoint formulation adds new interactions between the grids, in the opposite sense of the interactions existing in the direct formulation. Furthermore, we propose several variants of these algorithms that realize a weak coupling between the solutions of the two grids by adding design variables on the intergrids transfers. We show the application of a multigrid method, the Full Approximation Scheme, to the variational data assimilation. This approach allows to obtain a multigrid assimilation algorithm potentially efficient. These formulations are illustrated and discussed in the test case experiment of a 2D shallow water model. We observe a real improvement of the RMS error of the nested solution and an acceleration of the convergence of these algorithms.Les modèles emboîtés sont largement utilisés en météorologie et en océanographie. Ils permettent un accroissement local de la résolution, dans les zones où cela semble nécessaire, via l'intégration d'un même modèle sur une hiérarchie de grilles. Dans le cas d'interaction one-way, les conditions aux frontières pour la grille fine proviennent d'une interpolation de la solution obtenue sur la grille à plus faible résolution. Dans le cas d'interaction two-way, une rétroaction de la grille fine vers la grille grossière est ajoutée. Toutefois, le problème de l'assimilation variationnelle de données dans de tels systèmes n'a pas, ou peu, été étudié à ce jour. Ces classes de méthodes, notamment l'algorithme 4D-Var, permettent d'améliorer la solution d'un modèle, jusqu'ici mono-grille, en minimisant une fonctionnelle mesurant l'écart de ce modèle aux observations présentes sur une fenêtre temporelle. Le travail présenté ici vise donc à formuler un algorithme d'assimilation 4D-Var localement multi-grille. Pour le cas général d'une grille haute résolution emboîtée localement dans une autre à plus faible résolution, nous posons les équations du système adjoint dans les deux cas d'interactions one-way et two-way. Nous montrons ainsi que la formulation adjointe fait naturellement apparaître de nouvelles interactions entre les grilles, dans le sens opposé de celles existant dans la formulation directe. De plus, nous proposons différentes variantes à ces algorithmes, réalisant un couplage faible entre les solutions des différents modèles via l'ajout d'un terme de contrôle au niveau des transferts inter-grilles. Nous présentons également l'application d'une méthode multi-grille, le Full Approximation Scheme, à l'assimilation variationnelle de données. Cette approche permet d'obtenir un algorithme d'assimilation multi-grille potentiellement très efficace. Enfin, ces méthodes sont testées sur le cas d'un modèle Saint Venant 2D. Nous constatons une réduction importante des erreurs des solutions multi-grilles, ainsi qu'une accélération de la convergence de ces algorithmes