Étude théorique et numérique de l'activité électrique du cœur: Applications aux électrocardiogrammes

Meaningful computer based simulations of the electrocardiogram ( ECG), linking models of the electrical activity of the heart to ECG signals, are a necessary step towards the development of personalized cardiac models from clinical ECG data. An ECG simulator is, in addition, a valuable tool for building a virtual data base of pathological conditions, to test and train medical devices but also to improve the knowledge on the clinical significance of some ECG signals. In the present work, we show that meaningful ECG simulations (in normal or pathological conditions) can be obtained with a coupled heart-torso mathematical model fully based on partial differential equations : a reaction diffusion system in the heart (called bidomain model) and the Laplace equation in the torso. These equations are coupled on the heart-torso interface to obtain the ECG model. Numerical simulations are exploited to investigate the impact of some model assumptions and the sensitivity to the model parameters. We show that, in particular, cell heterogeneity and tissue anisotropy are required modeling assumptions. For the considered cardiac conditions, the Mitchell-Schaeffer phenomenological ionic model is enough. Moreover, heart-torso full coupling is recommended and the mono-domain approximation does not significantly reduces computational cost, unless a heart-torso uncoupling approximation is considered. On the other hand, prove that accurate ECG signals can be obtained with a time-marching procedure allowing a fully decoupled computation of the four unknown fields (ionic state, transmembrane potential, extracellular and torso potentials). Hence, with a computational cost equivalent to the combination of the uncoupling and the monodomain approximations. Such a decoupling is achieved via a semi-implicit treatment of the reaction term, a Gauss-Seidel (or Jacobi) like bidomain splitting and an explicit Robin-Robin treatment of the heart-torso coupling. We prove an energy based stability under mild time-step restrictions. The above described numerical investigations are complemented with an analysis of the heart-torso system mathematical well-posedness. Existence of weak solution is obtained for a class of phenomenological ionic models (including a regularized version of the Mitchell-Schaeffer ionic model), whereas uniqueness is only proved for the FitzHugh-Nagumo ionic model. In the last part of this work, we propose examples of how the developed ECG simulator can be successfully used in different contexts and applications. The first concerns a very preliminary study (based on synthetic data) of the inverse problem of electrocardiography, in which we make use of the above mentioned sensitivity analysis. We propose a strategy to estimate the conductivity parameters of the torso. We have also coupled our ECG simulator with a gradient-free optimization tool to estimate some ionic model parameters. The results are promising and we propose to pursue our investigations in that direction. The second application concerns a problem raised by a pacemaker manufacturer (ELA Medical). How to exploit pacemaker measured heart potentials (electrograms or EGMs) in order to provide the clinician with something as close as possible to a standard ECG ? We address this problem by combining our ECG simulator with machine learning techniques (based on the kernel ridge regression method). In this framework, we use the ECG simulator to enrich the training set with new cardiac situations (that have not yet been undergone) and, on the other hand, to test the robustness of the reconstruction algorithms. At last, we present numerical simulations of the electromechanical activity of the heart (without mechano-electrical feedback) obtained with a 3D computational model, integrating our ECG simulator and a cardiac mechanics solver (developed by the MACS project-team at INRIA). We show that the cardiac activation patterns associated to physiological ECG signals allow to simulate also physiological medical indicators on the mechanical side, such as pressures and volumes, in healthy and pathological cases. Moreover, physiological values in the pathological conditions (LBBB, RBBB and fibrillation) are obtained by simply recalibrating the model parameters directly affected by the pathology (initial activation). Somehow, this illustrated the predictive capabilities of the model.La modélisation du vivant, en particulier la modélisation de l'activité cardiaque, est devenue un défi scientifique majeur. Le but de cette thématique est de mieux comprendre les phénomènes physiologiques et donc d'apporter des solutions à des problèmes cliniques. Nous nous intéressons dans cette thèse à la modélisation et à l'étude numérique de l'activité électrique du cœur, en particulier l'étude des électrocardiogrammes (ECGs). L'onde électrique dans le cœur est gouvernée par un système d'équations de réaction-diffusion appelé modèle bidomaine ce système est couplé à une EDO représentant l'activité cellulaire. Afin simuler des ECGs, nous tenons en compte la propagation de l'onde électrique dans le thorax qui est décrite par une équation de diffusion. Nous commençons par une démonstrer l'existence d'une solution faible du système couplé cœur-thorax pour une classe de modèles ioniques phénoménologiques. Nous prouvons ensuite l'unicité de cette solution sous certaines conditions. Le plus grand apport de cette thèse est l'étude et la simulation numérique du couplage électrique cœur-thorax. Les résultats de simulations sont représentés à l'aide des ECGs. Dans une première partie, nous produisons des simulations pour un cas normal et pour des cas pathologiques (blocs de branche gauche et droit et des arhythmies). Nous étudions également l'impact de certaines hypothèses de modélisation sur les ECGs (couplage faible, utilisation du modèle monodomaine, isotropie, homogénéité cellulaire, comportement résistance-condensateur du péricarde,. . . ). Nous étudions à la fin de cette partie la sensibilité des ECGs par apport aux paramètres du modèle. En deuxième partie, nous effectuons l'analyse numérique de schémas du premier ordre en temps découplant les calculs du potentiel d'action et du potentiel extérieur. Puis, nous combinons ces schémas en temps avec un traîtement explicite du type Robin-Robin des conditions de couplage entre le cœur et le thorax. Nous proposons une analyse de stabilité de ces schémas et nous illustrons les résultats avec des simulations numériques d'ECGs. La dernière partie est consacrée à trois applications. Nous commençons par l'estimation de certains paramètres du modèle (conductivité du thorax et paramètres ioniques). Dans la deuxième application, qui est d'originie industrielle, nous utilisons des méthodes d'apprentissage statistique pour reconstruire des ECGs à partir de mesures ('électrogrammes). Enfin, nous présentons des simulations électro-mécaniques du coeur sur une géométrie réelle dans diverses situations physiologiques et pathologiques. Les indicateurs cliniques, électriques et mécaniques, calculés à partir de ces simulations sont très similaires à ceux observés en réalité