Constructions géométriques à précision fixée

Robustness problems resulting from the substitution of floating-point arithmetic for exact arithmetic on real numbers are often an obstacle to the practical implementation of geometric algorithms. For algorithms that are purely combinatorial, the use of the exact computation paradigm gives a satisfactory solution to this problem. However, this paradigm does not allow to practically solve the case of algorithms that reuse or cascade the construction of new geometric objects. This thesis treats the problem of rounding the result of set operations on polygonal regions onto the integer grid. We propose several rounding modes that allow to guarantee some interesting metric and topological properties between the exact result and its rounded counterpart such as inclusion properties and convexity preservation. Our methods are based on the rounding of elementary geometric constructions, e.g. rounding a vertex of a convex polygon to its nearest interior grid point, for which we propose efficient algorithms. We finally present some fast overlap tests that allow to detect in a robust manner the intersection of several kinds of convex objects in the plane and in the three dimensional space. All methods have a direct application in domains such as CAD and computer graphics.Les problèmes de robustesse liés à la substitution du calcul exact sur les réels par le calcul flottant approché sont souvent un obstacle à l'implantation pratique des algorithmes géométriques. Si l'adoption du paradigme exact apporte une solution satisfaisante à ce type de problèmes pour les algorithmes ayant un résultat purement combinatoire, cette solution ne permet cependant pas de résoudre en pratique le cas des algorithmes qui réutilisent voire cascadent la construction de nouveaux objets géométriques. Cette thèse aborde le problème de l'arrondi sur la grille entière du résultat d'opérations booléennes sur des régions polygonales et propose plusieurs notions d'arrondi permettant de garantir certaines propriétés métriques et topologiques intéressantes entre le résultat exact et sa version arrondie telles que la garantie de relations d'inclusion et la préservation de la convexité du résultat. Nos méthodes sont basées sur l'utilisation de constructeurs élémentaires arrondis pour lesquels nous présentons également plusieurs algorithmes efficaces. Nous proposons enfin des tests rapides permettant la détection robuste d'intersection entre plusieurs types d'objets convexes dans le plan et dans l'espace. L'ensemble de ces solutions trouvent une application directe en CAO et en graphisme