Three years of graphs and music : some results in graph theory and its applications

This thesis consists in successive glimpses of different problems in discrete mathematics related to graph theory. Its mains focus is on graph colouring, i.e. on assignments of integer values to the vertices (or edges) of a graph satisfying a set of local constraints, most of the time the exclusion of specific patterns in the coloured graph. For several different types of colouring (vertex and edge choosability, acyclic or linear colouring, ...) a state of the art is provided, along with results ensuring the existence of such colourings on planar graphs or subclasses of them -- with the aim of minimising the number of colours used for a given Maximum Degree, or Maximum Average Degree. This thesis also deals with decompositions of graphs into induced subgraphs, and asserts that similarly to what Wilson's theorem implies for non-induced graph decomposition, there exists for any graph $H$ an infinite sequence of dense graph whose edge set can be partitioned in induced copies of $H$. The proof methodology involves hypergraphs, for which a decomposition result is presented, i.e. that the complete 3-uniform hypergraph can be partitioned into $\lceil \frac {n(n-1)} 6\rceil$ $\alpha$-acyclic hypergraphs as conjectured. In a third part are gathered algorithmic questions. Those are problems of optimisation or existence motivated by telecommunications in networks, studied with the classical framework of computational complexity, or the search of subgraphs through parametrised complexity. In a fourth part it, considers counting problems belonging to the study of chemical graphs, and finally details some Integer LinearPrograms used in the Mathematics software Sage.Cette thèse présente différents aperçus de problèmes de mathématiques discrètes en lien avec la théorie des graphes. Elle s'intéresse en particulier à la coloration de graphes, i.e. l'assignation de couleurs aux sommets (ou arêtes) d'un graphes sous certaines contraintes locales, notamment l'exclusion de motifs. Pour différents types de coloration (choisissabilité des sommets, des arêtes, coloration acyclique ou linéaire, ...), un état de l'art est présenté, accompagné de résultats d'existence sur les graphes planaires ou leurs sous-classes, ayant pour but de minimiser le nombre de couleurs nécessaires pour un degré maximum ou un degré moyen maximum (Mad) donnés. Cette thèse traite également de décompositions induites de graphes, et démontre qu'il existe pour tout graphe $H$ une suite infinie de graphes denses dont les arêtes peuvent être partitionnées en copies induites de $H$. Cette preuve requiert le formalisme des hypergraphes, pour lesquels un autre résultat de décomposition est démontré, i.e. une décomposition optimale de l'hypergraphe complet 3-régulier en hypergraphes $\alpha$-acycliques. La troisième parti porte sur des questions algorithmiques. Elles consistent en problèmes d'optimisation ou d'existence, motivés par le routage d'information dans les réseaux, analysés par le formalisme classique de complexité algorithmique, ou traitent de la recherche de sous-graphes dans le formalisme de la complexité paramétrée. Dans une quatrième partie sont considérés des problèmes de comptage issus de la chimie, suivis de la présentation de Programmes Linéaires Entiers utilisés dans le logiciel de mathématiques Sage