Contributions à l'arithmétique flottante : codages et arrondi correct de fonctions algébriques

Efficient and reliable computer arithmetic is a key requirement to perform fast and reliable numerical computations. The choice of the number system and the choice of the arithmetic algorithms are important. We present a new representation of numbers, the "RN-codings", such that truncating a RN-coded number to some position is equivalent to rounding it to the nearest. We give some arithmetic algorithms for manipulating RN-codings and introduce the concept of "floating-point RN-codings". When implementing a function f in floating-point arithmetic, if we wish to always return the floating-point number nearest f(x), one must be able to determine if f(x) is above or below the closest "midpoint", where a midpoint is the middle of two consecutive floating-point numbers. This determination is first done with some given precision, and if it does not suffice, we start again with higher precision, and so on. This process may not terminate if f(x) can be a midpoint. Given an algebraic function f, we try either to show that there are no floating-point numbers x such that f(x) is a midpoint, or we try to enumerate or characterize them. Since the IBM PowerPC, binary division has frequently been implemented using variants of the Newton-Raphson iteration due to Peter Markstein. This iteration is very fast, but much care is needed if we aim at always returning the floating-point number nearest the exact quotient. We investigate a way of efficiently merging Markstein iterations with faster yet less accurate iterations called Goldschmidt iterations. We also investigate whether those iterations can be used for decimal floating-point arithmetic. We provide sure and tight error bounds for these algorithms.Une arithmétique sûre et efficace est un élément clé pour exécuter des calculs rapides et sûrs. Le choix du système numérique et des algorithmes arithmétiques est important. Nous présentons une nouvelle représentation des nombres, les "RN-codes", telle que tronquer un RN-code à une précision donnée est équivalent à l'arrondir au plus près. Nous donnons des algorithmes arithmétiques pour manipuler ces RN-codes et introduisons le concept de "RN-code en virgule flottante." Lors de l'implantation d'une fonction f en arithmétique flottante, si l'on veut toujours donner le nombre flottant le plus proche de f(x), il faut déterminer si f(x) est au-dessus ou en-dessous du plus proche "midpoint", un "midpoint" étant le milieu de deux nombres flottants consécutifs. Pour ce faire, le calcul est d'abord fait avec une certaine précision, et si cela ne suffit pas, le calcul est recommencé avec une précision de plus en plus grande. Ce processus ne s'arrête pas si f(x) est un midpoint. Étant donné une fonction algébrique f, soit nous montrons qu'il n'y a pas de nombres flottants x tel que f(x) est un midpoint, soit nous les caractérisons ou les énumérons. Depuis le PowerPC d'IBM, la division en binaire a été fréquemment implantée à l'aide de variantes de l'itération de Newton-Raphson dues à Peter Markstein. Cette itération est très rapide, mais il faut y apporter beaucoup de soin si l'on veut obtenir le nombre flottant le plus proche du quotient exact. Nous étudions comment fusionner efficacement les itérations de Markstein avec les itérations de Goldschmidt, plus rapides mais moins précises. Nous examinons également si ces itérations peuvent être utilisées pour l'arithmétique flottante décimale. Nous fournissons des bornes d'erreurs sûres et précises pour ces algorithmes