Application of the Moment-SOS Approach to Global Optimization of the OPF Problem

International audienceFinding a global solution to the optimal power flow (OPF) problem is difficult due to its nonconvexity. A convex relaxation in the form of semidefinite programming (SDP) has attracted much attention lately as it yields a global solution in several practical cases. However, it does not in all cases, and such cases have been documented in recent publications. This paper presents another SDP method known as the moment-sos (sum of squares) approach, which generates a sequence that converges towards a global solution to the OPF problem at the cost of higher runtime. Our finding is that in the small examples where the previously studied SDP method fails, this approach finds the global solution. The higher cost in runtime is due to an increase in the matrix size of the SDP problem, which can vary from one instance to another. Numerical experiment shows that the size is very often a quadratic function of the number of buses in the network, whereas it is a linear function of the number of buses in the case of the previously studied SDP method.La détermination de la solution globale du problème d'optimisation des flux d'énergie (OFE) dans un réseau de transport d'électricité est difficile à cause de la non-con\-ve\-xi\-té du problème. Une relaxation convexe de celui-ci, utilisant l'optimisation semi-définie positive (SDP), a attiré l'attention ces dernières années, parce qu'elle permet de calculer l'optimum global dans un certain nombre de situations pratiques intéressantes. Cependant, cette relaxation n'est pas toujours exacte et des cas d'échec ont été décrits dans des publications récentes. Cet article présente une autre méthode de relaxation SDP, connue sous le nom d'ap\-pro\-che des moments-sos (sum-of-squares), qui génère une suite de relaxations SDP dont les valeurs optimales doivent théoriquement converger vers celle du problème d'OFE original, au prix d'un temps de calcul croissant. Les résultats numériques présentés dans cet article montrent en réalité que sur les quelques réseaux avec peu de nœuds considérés, sur lesquels la relaxation de rang échoue, l'approche des moments-sos permet de trouver l'optimum global très rapidement. L'accroissement du temps de calcul est dû à l'augmentation de la dimension des matrices intervenant dans les relaxations SDP générées, laquelle est liée à l'ordre de la relaxation. Les tests numériques montrent qu'une dimension de matrice de l'ordre du carré du nombre de nœuds du réseau est souvent suffisante pour obtenir l'optimum global, tandis qu'avec la relaxation de rang, qui est alors inexacte, la dimension des matrices est égale au nombre de nœuds du réseau