Propriétés Différentielles des Permutations et Application en Cryptographie Symétrique

The work I have carried out during this thesis lies between discrete mathematics, finite fields theory and symmetric cryptography. Symmetric cryptography consists in every function and protocol that permits a secure communication between people sharing the same secret key. In block ciphers, as well as in hash functions, SBoxes are small non-linear and necessary functions playing the role of the confusion layer.In the first part of this thesis, we focus on the design of bijective SBoxes that have the best resistance against differential cryptanalysis. First, we study the compositional inverse of the so-called Almost Perfect Nonlinear (APN) power functions. Then, we extensively study a class of permutation polynomials with low differential uniformity which admit efficient implementations in hardware and software. Finally, we build APN functions over finite fields from their discrete derivatives.In the second part, we realize an automatic study of a certain type of differential cryptanalysis: Impossible Differential Cryptanalysis. This known plaintexts attack has been shown to be very efficient against iterative block ciphers. It exploits the knowledge of a differential with probability zero to occur. However, this cryptanalysis remains very technical and many flaws have been discovered, invalidating thus many attacks realized in the past. Our goal is to formalize, to improve and to automatize the complexity evaluation in order to optimize the results one can obtain. We also propose new techniques that aim at reducing the necessary data and time complexities. We finally prove the efficiency of our method by providing the best impossible differential cryptanalysis against the Feistel oriented block ciphers CLEFIA, Camellia, LBlock and Simon.Les travaux exposés dans cette thèse se situent à l’interface des mathématiques discrètes, des corps finis et de la cryptographie symétrique. La cryptographie symétrique consiste en l’ensemble des fonctions et protocoles permettant la communication sécurisée entre deux parties partageant un secret commun. L’étude des fonctions mathématiques composant les primitives de cryptographie symétrique permet d’optimiser la conception et l’analyse de ces dernières. Les 'boîtes-S’ sont des fonctions non-linéaires de petites tailles qui constituent souvent la partie de confusion, indispensable, des chiffrements par blocs ou des fonctions de hachages.Dans la première partie de cette thèse, nous nous intéressons à la construction de boîtes-S bijectives qui résistent le mieux à la cryptanalyse différentielle. Nous étudions dans un premier temps l’inverse pour la composition des monômes de permutations optimaux vis-à-vis du critère différentiel. Dans un second temps, nous explorons des classes spécifiques de polynômes comportant peu de termes. Nous donnons entre autre des classes de permutations et calculons des bornes sur leur uniformité différentielle. Enfin, nous envisageons la possibilité de pouvoir construire des boîtes-S à partir de leurs dérivées discrètes, nous permettant ainsi de maîtriser leurs propriétés différentielles.Dans la deuxième partie de cette thèse, nous portons notre attention sur un type particulier de cryptanalyse différentielle : la cryptanalyse différentielle impossible. Cette cryptanalyse à clairs choisis, qui s’est montrée très performante pour attaquer des chiffrements par blocs itératifs, exploite la connaissance d’une différentielle de probabilité zéro pour écarter les clés de l’ensemble des clés candidates. Bien que largement utilisée, la cryptanalyse différentielle impossible est très technique, et de nombreuses erreurs ont été repérées dans des travaux passés, invalidant ou affaiblissant ainsi certaines attaques. Le but de ces travaux est de formaliser et d’automatiser l’évaluation des complexités d’une telle attaque afin d’unifier et d’optimiser les résultats obtenus. Nous proposons aussi de nouvelles techniques réduisant le nombre de messages clairs, ou le temps de calcul, nécessaire à cette cryptanalyse. Nous démontrons enfin l’efficacité de notre approche en fournissant les meilleures cryptanalyses différentielles impossibles contre les chiffrements CLEFIA, Camellia, LBlock et Simon