Description Formelle de Propriétés Géométriques

Synthetic geometry, sometimes also called axiomatic geometry, deals purely with geometric objects. Relying on axioms and theorems relating the basic concepts of geometry makes it possible to highlight the geometrical properties during the proofs.This thesis concentrates on geometrical properties and their description in the Coq proof assistant. The two main results of this thesis are a library of formal descriptions and a proof system extension to interact directly with geometrical objects during proofs.The first part presents our formalization of Euclidean geometry based on affine geometry. We approach notions, properties, and theorems in a style similar to what is taught in high school. This development improves on the library developed by F. Guilhot by eliminating needless axioms, giving more appropriate definitions for some geometric notions and re-formalizing their properties.The second part deals with the notion of orientation in the plane. It allows us to remove ambiguities in the presentation of geometric objects and state and solve ordered geometry problems.The third part deals with foundations. In particular, we show that the axiom systems of Hilbert and Tarski can be described on top of ours. We also show that automatic proof methods like the area method and Gr\"obner bases can be integrated. The work on the area method was performed jointly with J. Narboux.The fourth part presents a combination of the Coq formal proof tool and the Geogebra dynamic geometry tool. This is based on the java-based user-interface for Coq named Pcoq. This combination allows users to easily perform geometry reasoning as taught in high school and in a interactive manner with the support of a graphic interface. This shows how a proof system could be used in education.La géométrie synthétique, aussi parfois appelée géométrie axiomatique, s'intéresse purement aux objets géométriques. En reposant sur des axiomes et des théorèmes qui mettent en relation les concepts de base de la géométrie, elle permet de mettre en valeur les propriétés géométriques pendant les preuves mathématiques.Cette thèse se concentre sur les propriétés géométrique et leur description dans le système de preuve Coq. Les deux résultats principaux sont une bibliothèque de descriptions formelles et une extension du système de preuve pour permettre une interaction directe avec les objets géométriques pendant les preuves.La première partie présente notre formalisation de la géométrie euclidienne basée sur la géométrie affine. Nous approchons les notions, les propriétés, et les théorèmes dans un style similaire à celui utilisé dans l'enseignement au lycée. Notre développement améliore le développement fourni précédemment par F. Guilhot en éliminant les axiomes inutiles, en fournissant des définition mieux appropriées pour certains objets géométriques, et en re-formalisant leurs propriétés.La deuxième partie s'intéresse à la question de l'orientation dans le plan. Cela permet d'enlever certaines ambiguïtés dans la présentation des objets géométriques et d'énoncer des problèmes de géométrie "ordonnée" et de les prouver.La troisième partie s'intéresse à des questions de fondement. En particulier, nous montrons que les systèmes d'axiomes de Hilbert et Tarski peuvent être modélisés dans notre système. Nous montrons également que notre système d'axiome peut supporter les outils de preuve automatique basés sur la méthode des aires ou sur les bases de Gröbner. Le travail sur les bases de Gröbner a été effectué en collaboration avec J. Narboux.La quatrième partie présente une combinaison de l'outil de preuve formel Coq avec l'outil de géométrie dynamique GeoGebra, en se reposant sur l'interface d'utilisation pour Coq développée en Java et appelée Pcoq. Le résultat de cette combinaison permet aux utilisateurs d'effectuer facilement des raisonnements géométriques dans le style de la géométrie du lycée, interactivement et avec le support d'une interface graphique. Ceci montre comment un système de preuve pourrait être utilisé en éducation.Mots-clefs: Formalisation de la géométrie, Preuve interactive, Coq, logiciel de géométrie dynamique