Torsion de Reidemeister non abélienne et forme volume sur l'espace des représentations du groupe d'un noeud

Boileau, Michel (Examinateur) LeDimet Jean-Yves (Examinateur) Lines, Daniel (Rapporteur) Porti, Joan (Rapporteur) Turaev, Vladimir (Président du jury)For a knot $K$ in $S^3$, we construct according to Casson -- or more precisely taking into account Lin's (cf. J. Differential Geom. 35 (1992) 337-357) and Heusener's (cf. Topology Appl. 127 (2003) 175-197) further works -- a volume form on the $SU(2)$-representation space of the group $G_K$ of the knot $K$. More precisely, let us denote by $\mathrm(Reg)(K)$ the set of $SO(3)$-conjugacy classes of \emph(regular) representations of $G_K$ into $SU(2)$, then $\mathrm(Reg)(K)$ is a one-dimensional manifold and we prove that $\mathrm(Reg)(K)$ also carries a natural $1$-volume form. Next, we show how to interpret this volume form as a non abelian Reidemeister torsion. Finally, we give an explicit computation of this volume form for torus knots and fibered knots and we also compute the Reidemeister torsion of the Brieskorn homology spheres with coefficients in the adjoint representation. Furthermore, we study the behavior of this volume form under mutation.Pour un n\oe ud $K$ dans $S^3$, on construit dans l'esprit de Casson -- et plus précisément en s'inspirant des travaux ultérieurs de Lin (cf. J. Differential Geom. 35 (1992) 337-357) et Heusener (cf. Topology Appl. 127 (2003) 175-197) -- une forme volume sur l'espace des représentations du groupe $G_K$ du n\oe ud $K$ dans $SU(2)$. Plus exactement, si $\mathrm(Reg)(K)$ désigne l'ensemble des classes de conjugaison des représentations \emph(régulières) de $G_K$ dans $SU(2)$, alors $\mathrm(Reg)(K)$ est une variété unidimensionnelle et on établit qu'elle possède aussi une $1$-forme volume naturelle. On montre ensuite comment on peut interpréter cette forme volume en termes de torsion de Reidemeister non abélienne. On termine par des exemples : le calcul explicite de la forme volume que l'on vient de construire pour les n\oe uds toriques et les n\oe uds fibrés ainsi que celui de la torsion de Reidemeister des sphères d'homologie de Brieskorn à coefficients dans la représentation adjointe. On étudie également le comportement (à signe près) de la forme volume que l'on a construite sous l'effet d'une mutation