Etude mathématique et numérique de modèles issus du domaine biomédical

Ce mémoire présente les travaux de recherche réalisés depuis la fin de mon doctorat. Ils s’articulent autour de trois thématiques : l’analyse mathématique des problèmes d’interaction fluide-structure, l’identification de paramètres pour un modèle simplifié d’écoulement de l’air dans l’arbre respiratoire, l’étude mathématique et numérique de modèles d’électrophysiologie cardiaque.Dans la première partie de ce mémoire, les travaux présentés se situent dans le prolongement de ceux réalisés durant mon doctorat et sont des contributions à l’analyse mathématique des problèmes d’interaction fluide-structure. Le fluide est modélisé par les équations de Navier-Stokes incompressible ou compressible et la structure est rigide ou élastique. Une série de travaux étudie l’existence et l’unicité de solution régulière. On aborde aussi l’étude de la contrôlabilité locale à zéro du problème d’interaction entre un fluide incompressible et une structure rigide : en considérant un contrôle qui agit sur une partie du domaine fluide, on cherche à amener l’ensemble fluide-structure au repos et à amener la structure à une certaine position.La seconde partie est consacrée aux problèmes inverses venant de la modélisation de l’air dans l’arbre respiratoire. On considère ici les équations de Stokes et l’objectif est d’identifier un coefficient de Robin (correspondant à une résistance dans l’arbre bronchique) qui intervient dans les conditions au bord sur une partie de la frontière à partir de mesures réalisées sur une autre partie de la frontière. Les résultats reposent sur des inégalités de Carleman locales et donnent une stabilité logarithmique des coefficients de Robin par rapport aux observations.Enfin, la troisième partie résume les résultats obtenus dans le domaine d’application de l’électrophysiologie cardiaque. Différentes sujets sont abordés : l’analyse mathématique des problèmes direct et inverse, l’obtention par des simulations numériques 3D d’électrocardiogrammes réalistes, l’identification numérique de paramètres et l’impact du bruit