Multigrid methods and data assimilation ― Convergence study and first experiments on non-linear equations

International audienceIn order to limit the computational cost of the variational data assimilation process, we investigate the use of multigrid methods to solve the associated optimal control system. On a linear advection equation, we study the impact of the regularization term and the discretization errors on the efficiency of the coarse grid correction step introduced by the multigrid method. We show that even if for a perfect numerical model the optimal control problem leads to the solution of an elliptic system, discretization errors introduce implicit diffusion that can alter the success of the multigrid methods. Then we test the multigrids configuration and the influence of the algorithmic parameters on a non-linear Burgers equation to show that the algorithm is robust and converges much faster than the monogrid one.Afin de limiter le coût de calcul lié aux méthodes variationnelles d’assimilation de données, nous nous intéressons ici à l’utilisation de méthodes multigrilles pour la résolution de systèmes de contrôle optimal. Sur un modèle simple d’advection linéaire, nous étudions l’impact du terme de régularisation du contrôle optimal ainsi que l’impact des erreurs de discrétisation sur l’efficacité de la correction grille grossière introduite par cette méthode. En particulier, nous montrons que pour un modèle numérique parfait, le problème de contrôle optimal est elliptique mais que les erreurs de discrétisation introduisant une diffusion implicite peuvent altérer les performances de la méthode multigrille. Enfin, sur une équation de Burgers, non linéaire, nous étudions l’influence des différents paramètres inhérents aux méthodes multigrilles et montrons que ces méthodes sont robustes et convergent beaucoup plus rapidement que les méthodes monogrilles