Analyse spectrale semiclassique du Laplacien magnétique : étude des états semi-excités par formes normales de Birkhoff

The magnetic Laplacian is a Schrödinger operator with magnetic field. The aim of this thesis is to study its spectrum in the semiclassical limit. We focus on non-vanishing magnetic fields. As one can see using microlocal and semiclassical analysis, a specific harmonic oscillator is induced by the magnetic field, the cyclotron motion. In a uniform magnetic field, this oscillation quantizes the spectrum into Landau levels, eigenvalues of infinite multiplicity. When the magnetic field varies, these energy levels split into infinitely many discrete eigenvalues. We explain this phenomenon and deduce a precise description of the spectrum of the magnetic Laplacian and some non-selfadjoint perturbations, using Birkhoff normal forms. In particular we show the influence of geometric quantities such as field lines on the spectrum of the operator. We emphasize on the case of discrete magnetic wells.Le Laplacien magnétique est un opérateur de Schrödinger en présence d'un champ magnétique, et le but de cette thèse est d'étudier son spectre dans la limite semiclassique. Nous considérons des champs qui ne s’annulent pas. Dans ce cas, les méthodes d'analyse microlocale et semiclassique permettent d'exhiber un oscillateur harmonique qui est induit par le champ lui-même : le mouvement cyclotron. Dans le cas d'un champ uniforme, cette oscillation quantifie le spectre en niveaux de Landau : des valeurs propres infiniment dégénérées. Si l'on ajoute des variations au champ, ces niveaux se divisent et contribuent à l'ensemble du spectre. Nous expliquons ce phénomène et en déduisons une description précise du spectre du Laplacien magnétique et de perturbations non nécessairement auto- adjointes de celui-ci, à l'aide de formes normales de Birkhoff. Nous exhibons en particulier l’influence de quantités géométriques comme les lignes de champ sur le spectre de l’opérateur. Le cas des puits magnétiques discrets est étudié en détail