Analyse fractale d'une famille de fonctions aléatoires: les fonctions de bosses

We study random series defined on R^D asF(t) = Σ n^(-α/D)G(n^(1/D)(t − Xn)) , with α > 0, G an elementary bump or pulse and (Xn) a sequence of independent random variables. First we discuss existence of more general series, named sums of pulses, emphasizing the meaning of each parameter. Sufficient conditions of existence, continuity and integrability are stated here. We proceed with the study of path regularity and we determine a uniform Holder exponent for F. We are naturally interested in fractal dimensions of the graph of F . To this end we develop some general analysis tools suitable for Holder continuous functions. We obtain results allowing us to estimate box-dimension, regularization dimension, and a large class of dimensional indices. Some of them are linked to multifractal analysis. We also calculate the Hausdorff dimension of the graph of F . We devote the second part of our work to applications of sums of pulses, especially to model rough surfaces. We show off new theoretic properties using structure functions. They give log-log plots that also take experimental constraints into consideration. They are used to identify a sum of pulses and estimate his parameters. We propose many methods building suitable estimators. Then it is possible to model any given signal using sums of pulses. Structure curves are used again as adequation criterion. We give several examples of theoretic and experimental data.Nous étudions les séries aléatoires définies sur R^D par F(t) = Σ n^(-α/D)G(n^(1/D)(t − Xn)) , où α > 0, G est une "bosse élémentaire" et (Xn)n>1 une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi. Nous commençons par discuter l'existence de séries plus générales, appelées fonctions de bosses, en soulignant le rôle de chacun des paramètres. C'est dans ce cadre que sont établies des conditions suffisantes d'intégrabilité, d'existence et de continuité. Nous poursuivons l'étude de la régularité presque sûre des trajectoires du modèle standard et déterminons en particulier un exposant de Hölder uniforme. Nous nous intéressons alors naturellement aux dimensions fractales de son graphe. Pour cela, nous développons des outils d'analyse généraux permettant de traiter les fonctions uniformément höldériennes. Nous énonçons des résultats concernant l'estimation des dimensions de boîte et de régularisation, et, plus généralement, d'une large classe d'indices dimensionnels, certains liés à l'analyse multifractale. Nous calculons ensuitela dimension de Hausdorff du graphe de F . La seconde partie de notre thèse est consacrée à l'application des fonctions de bosses à la modélisation de profils rugueux. On met en évidence de nouvelles propriétés théoriques, notamment à l'aide des fonctions de structure. Celles-ci donnentnaissance à des diagrammes logarithmiques, les courbes de structure, qui permettent d'analyser un signal en tenant compte des contraintes expérimentales. Elles sont utilisées pour l'identification d'une fonction de bosses et l'estimation de ses paramètres. Nous proposons pour cela de nombreuses méthodes en construisant des estimateurs adaptés. Il est alors possible de modéliser un signal donné par une fonction de bosses. Les courbes de structure servent encore à l'élaboration de critères de conformité. Des exemples de données théoriques et expérimentales illustrent notre propos