La réception des Vorlesungen über neure Geometrie de Pasch par Peano

Peano écrit en 1888 le Calcolo geometrico. Un an après, il publie I principii di geometria, où il développe, dans le sillage des Vorlesungen über neure Geometrie de Pasch, une axiomatisation de la géométrie. Comment concevoir le rapport entre ce projet et celui du calcul géométrique ? Dans cet article, nous soulignons le profond fossé entre les deux entreprises : alors que l'élaboration d'une algèbre géométrique vise chez Peano à manifester la singularité des grandeurs spatiales par rapport aux nombres, l'axiomatisation se développe de façon autonome et sans aucune référence à la distinction entre entités géométriques et numériques. Mais nous montrons dans un second temps que la façon dont Peano lit Pasch est complètement tributaire de son engagement antérieur dans la tradition grassmannienne : le segment AB n'est pas pour lui comme il l'est pour Pasch un objet observable, mais le résultat d'un certain produit de points. Le tableau, au final, est assez complexe : d'une part, calcul et axiomatique sont supportées par des conceptions fondamentalement opposées de l'objet géométrique ; en même temps, la méthode axiomatique, telle qu'elle se développe dans I Principii, résulte d'une lecture de Pasch selon une grille élaborée dans le Calcolo