Outils pour le pavage de surfaces

The amount of data available to describe the geometry of a 3D object is ever increasing, and therefore ways to efficiently process it are essential. In this dissertation, we present a collection of tools for surface manipulation that exploit both their geometric and topological properties. First we describe some classical results of topology, the framework and main algorithms for surface cutting. We then introduce the M-tiles and M-tiling concepts, which notably offer great combinatorial flexibility while allowing to describe the results from topological cutting algorithms with precision. Thanks to the descriptive power of this formalism we introduce various cutting algorithms, which take into account not only the topology and geometry of the surfaces but also the properties of the M-tiles resulting from the cuttings. We also introduce in this dissertation a generalization of loops we call n-loops, which allow the description of a new approach for tiling surfaces with cylindrical patches first and then quadrangles. Two applications of these cutting tools are finally presented. First, in the context of computer graphics, we describe a set of tools based on the new cutting algorithms to aid surface manipulation. Then, we describe a complete framework for medical imaging, that produces a dynamic visualization interface to display complex data on planar brain maps. The suitability of this visualization is illustrated in the context of cortical stimulation. Finally, we discuss the future perspectives offered by our novel developments, e.g. by exploiting the potential of n-loops and M-tilings, which we believe to be numerous. We also underline the richness provided by exploiting computational geometry tools in the context of the aforementioned application fields.Alors que l'on observe une disponibilité croissante de données décrivant des objets 3D, il semble essentiel de disposer de moyens de traitement efficaces de ces derniers. Ainsi, nous présentons dans ce mémoire un ensemble d'outils de manipulation de surfaces, qui exploitent à la fois leurs propriétés géométriques et topologiques. Après avoir décrit différents résultats classiques de topologie, et les structures et résultats fondamentaux de la topologie algorithmique, nous présentons les concepts de M-tuiles et M-pavages, offrant notamment une grande souplesse combinatoire, et permettant de décrire finement le résultat d'algorithmes de découpage topologique. En s'appuyant sur les possibilités de description de ce formalisme, nous présentons différents algorithmes de découpage de surface, prenant en compte non seulement la topologie et la géométrie des surfaces, mais également les propriétés des M-tuiles issues de ces découpages. Nous présentons également dans ce mémoire une généralisation des lacets par les n-cets, permettant notamment de décrire une approche originale de pavage de surfaces en cylindres puis en quadrangles. Enfin, deux applications de ces outils de découpage sont présentées. Dans un premier temps, nous déclinons ces algorithmes de découpage dans le contexte de l'infographie, en proposant un ensemble d'outils d'aide à la manipulation de surfaces. Puis nous présentons dans un second temps une chaîne complète de traitement de données issues de l'imagerie médicale, permettant la visualisation dynamique de données complexes sur des cartes planes de la surface du cerveau, en illustrant sa pertinence dans le contexte de la stimulation corticale. En conclusion de ces travaux, nous présentons les perspectives que laissent entrevoir ces développements originaux, notamment en exploitant les possibilités offertes par les n-cets et les M-pavages, qui semblent multiples. Nous soulignons également la richesse qu'assure une exploration des domaines applicatifs par des outils issus de la géométrie algorithmique