Quelques contributions à la statistique des Processus : Inégalités de Déviations & Grandes Déviations

Dans ce mémoire d'HDR je présente une synthèse de mes travaux de recherche et décrit ainsi brièvement l'ensemble de mes articles. Ces travaux incluent tous les résultats obtenus depuis ma thèse jusqu’aux plus récents. Ces recherches se regroupent naturellement selon 4 thèmes principaux, ne respectant pas l’ordre chronologique, mais qui ont en commun une thématique majeure : les grandes déviations, et par extension, les déviations modérées, les inégalités de déviation et leurs applications. Ces quatre thèmes sont les suivants : 1. Grandes déviations pour les estimateurs liés aux mathématiques financières : nous présentons les premiers résultats de grandes déviations pour le vecteur de volatilité /covolatilité.2. Processus bifurcant : l'interaction des probabilités et de la biologie est en plein essor à travers notamment des modèles d'évolution de population. Je présente les chaines de Markov bifurcantes qui constituent un modèle de vieillissement de cellule pour lesquelles on montre les premiers résultats asymptotiques au delà de l'usuel TCL. 3. Inégalités fonctionnelles et applications. Les inégalités fonctionnelles et plus particulièrement les inégalités de transport, sont actuellement un sujet d'étude des plus importants de par leur apport dans des domaines aussi variées que les probabilités , l'analyse fonctionnelle ou les équations aux dérivées partielles. Dans cette partie je donnerai une caractérisation complète et pratique de l'inégalité de transport de type $T_1$ et de type $T_2$ pour les diffusions.4. Déviations modérées pour des variables aléatoires dépendantes : on s’intéresse aux principes des grandes déviations et des déviations modérées de fonctionnelles dépendant d’une suite infinie de variables aléatoires indépendantes de même loi. Ce cadre couvre diverses situations : filtrage, statistique, systèmes dynamiques, moyennes mobiles. Nous nous sommes intéressés à l'obtention des conditions les plus optimales pour le principe des déviations modérées pour des différences de martingales, pour les suites $\phi$-mélangeantes, pour le périodogramme empirique, pour le processus empirique fonctionnel d’une chaîne de Markov et la statistique de Durbin-Watson, en s’inspirant du cadre indépendant