Spectral analysis of Toeplitz operators on Bergman spaces and applcations

La présente thèse est consacrée à l’étude des propriétés spectrales d’une classe spécifique d’opérateurs de Toeplitz compacts sur l’espace de Bergman de fonctions holomorphes du disque unité du plan complexe. Rappelons qu’un opérateur de Toeplitz en question est défini comme la composition de la projection de Riesz sur l’espace et la multiplication par une fonction bornée donnée, que l’on appelle le symbole de l’opérateur.Plus précisément, nous considérons des opérateurs de Toeplitz avec des symboles continus à la décroissance logarithmique vers le bord du disque et nous obtenons les asymptotiques spectrales (i.e., les asymptotiques des valeurs singulières) pour ses objets. Ces résultats sont ensuite appliqués à l’étude des propriétés spectrales de certaines matrices “à bandes” compactes.L’organisation de la thèse est la suivante. Le premier chapitre est une introduction au sujet qui donne, entre outre, la formulation du problème de la thèse et présente les résultats connus sur le sujet. Le second chapitre est consacré à la présentation d’espaces de Bergman des fonctions holomorphes. On y étudie leurs propriétés générales, ainsi que les opérateurs intégraux "du type de projecteur de Riesz" qui joueront un certain rôle par la suite. Le troisième chapitre de la thèse contient les rappels nécessaires sur la théorie des opérateurs, et notamment sur les opérateurs compacts. En particulier, on y introduit la notion importante d'"orthogonalité asymptotique" d'une famille d'opérateurs compacts. Les outils de base sur les opérateurs de Toeplitz dans les espaces de Bergman sont donnés au quatrième chapitre. Enfin, le cinquième (et le dernier) chapitre du manuscrit fait la synthèse des techniques de chapitres précédentes et il est dédié à la démonstration détaillée du théorème principal de la thèse.The current Ph.D. Thesis is devoted to the study of the spectral properties of a specifis class of compact Toeplitz operators on the bergman space of holomorphic functions of the disk of the complex plane. Recall that a Toeplitz operator in question is defined as the composition of the Riesz projection on space and the multiplication by a given bounded function, Which is colled the operator symnbol.More precisely, we consider Toeplitz operators with continuous symbols decaying logarithmically toward the boundary of the disk and we obtain the spectral asymptotics (i.e., the singular value asymptotics) for its objects. These results are then applied to the stady of the spectral properties of certain compact “ band “ matrices.The organization of the thesis is a follows. The first chapter is an introduction to subject which gives, among other things, the formulation of the problem of the thesis and presents the known results on the subject. The second chapter is devoted to the presentation of Bergman spaces of holomorphic functions. We study their general properties, as well as the integral operators “ of the Riesz projector type “ which will play a certain role thereafter.The third chapter of the thesis contains the necessary reminders on operator theory, and in particular on compact operators. In particular, we introduce the important notion of “ asymptotic orthogonality “ of a family of compact operators. The basic tools on Toeplitz operators in Bergman spaces are given in the fourth chapter. Finally, the fifth (and the last) chapter of the manuscript synthesizes the techniques of previous chapters and is dedicated to the detailed demonstration of the main theorem of the thesis