Contributions à la dynamique linéaire, au processus de rafle, et à la regularité des applications Lipschitziennes

This thesis deals with three topics related to linear operators defined on infinite dimensional spaces and two topics of real analysis and variational analysis in finite dimensional spaces.The first chapter contains preliminaries on Banach space theory which will be relevant for the three topics related to linear operators.The second chapter is a characterization of some types of bounded linear operators in terms of the differentiability of Lipschitz functions.Our results include a characterization for the classes of finite rank, compact, limited and weakly compact operators.The third and fourth chapters are inscribed in linear dynamics on infinite dimensional spaces, studying epsilon-hypercyclicity and wild operators respectively.We establish an epsilon-hypercyclicity criterion based on which we can construct epsilon-hypercyclic operators in a large class of separable Banach spaces.With respect to wild operators, we establish results about their spectra and about the norm closure of the set of wild operators in the space of linear bounded operators.In addition, we introduce and explore the concept of asymptotically separated sets to construct linear operators with interesting dynamical properties.The fifth chapter is a generalization of the Kurdyka-Łojasiewicz inequality for multivalued maps which are not necessarily definable in an o-minimal structure.We characterize smooth multivalued functions which satisfy a certain desingularization of the coderivative in terms of the length of the solutions of the related sweeping process as well as the integrability of the oriented talweg.The last chapter is devoted to absolutely minimizing Lipschitz (AML) functions.The main contribution in this subject is a characterization of the regularity of planar AML functions in terms of the regularity of the underlying norm.Cette thèse traite de trois thèmes liés aux opérateurs linéaires définis sur des espaces de dimension infinie et de deux sujets de l'analyse réelle et de l'analyse variationelle dans des espaces de dimension finie.Le premier chapitre contient les préliminaires de la théorie des espaces de Banach qui seront utilisés dans les trois premiers thèmes.Le deuxième chapitre est une caractérisation de certains types d'operateurs linéaires bornées en termes de la différentiabilité des fonctions lipschitziennes.Nos résultats incluent une caractérisation pour les opérateurs de rang fini, compacts, limités et faiblement compacts.Les troisième et quatrième chapitres concernent la dynamique linéaire : nous étudions respectivement l'epsilon-hypercyclicité et les opérateurs dits "sauvages".Nous établissons un critère d'epsilon-hypercyclicité avec lequel nous pouvons construire des opérateurs epsilon-hypercycliques dans une large classe d'espaces de Banach séparables.En ce qui concerne les opérateurs sauvages, nous obtenons quelques résultats sur leurs spectres et sur la fermeture en norme de l'ensemble des opérateurs sauvages dans l'espace des opérateurs linéaires bornés.De plus, nous introduisons et explorons le concept d'ensembles asymptotiquement séparés pour construire des opérateurs linéaires avec des propriétés dynamiques intéressantes.Le cinquième chapitre est une généralisation de l'inégalité de Kurdyka-Łojasiewicz pour les fonctions multivaluées qui ne sont pas nécessairement définissables dans une structure o-minimale.Nous caractérisons les fonctions multivaluées lisses qui satisfont une désingularisation de la codérivée en termes de longueur des orbites du processus de rafle associé ainsi que de l'intégrabilité du talweg orienté.Le dernier chapitre est consacré aux fonctions Lipschitz absolument minimales (AML).La contribution principale est une caractérisation de la régularité de les fonctions AML planaires en termes de la régularité de la norme sous-jacente