Certification robuste d'un design aérodynamique par des inégalités de concentration de mesure

The expected performance of engineering systems can significantly differ from their operational performance due to the variability of some parameters they depend on. Usually, the design stage of these systems is divided into two different phases. The first phase consists in determining the pre-optimal design. Through the use of numerical simulations, for example, the best possible design is chosen. The issue is to take into account the ideal performances to be attained by formulating hypotheses-which can be subjective-characterizing the variability of different parameters. The second phase consists in certifying through full-scale experiments that the design achieved in the first phase is valid. In this way, the post-optimal design is specified. This second phase is the most expensive onestring; that is why manufacturers, especially in the aeronautical sector, are trying to reduce the number of full-scale experiments. Optimal Uncertainty Quantification (OUQ) is a powerful mathematical tool that can be used to rigorously bound the probability of exceeding a given performance threshold for uncertain operational conditions or system characteristics. This approach leads to the solution of an optimization problem on a set of admissible probability measures, thus avoiding the need to make subjective assumptions that can be significant. The optimization setting is a non-convex and strongly constrained problem, in a space of infinite dimension. Thus, it is generally difficult to solve numerically. Nevertheless, it can be reduced to an equivalent finite-dimensional optimization problem.This thesis work focuses, in a first step, on the application of the OUQ tool concerning, in particular, cases from the aeronautical domain, in order to rigorously bound the variations of performance functions classically studied in aerodynamics, such as the lift or the drag. Nevertheless, even after reduction of the optimization problem, this approach remains complex and the accuracy of the obtained results is thus impacted.In order to overcome this difficulty, an algorithm has been formulated that allows to ensure the validity of these numerical results. This algorithm is analogous to isotonic regression but differs from the assumptions made. Its convergence has been demonstrated, and it has been validated on simple validation test cases as well as on a more complex aerodynamic case. Nevertheless, the application of the OUQ framework requires to evaluate the performance function of the system several tens of thousands of times. Therefore, the use of a time-consuming model is not feasible and a computationally cheap model is required.With this in mind, several methods are finally presented for the construction of surrogate models that are simple to evaluate. A first approach based on the Kernel Flow algorithm initially applied to a classification problem is extended to a regression problem for the determination of the kernel (covariance) function in Gaussian process regression. Then, two new algorithms are presented. These algorithms use the equivalence between the Gaussian process regression approach and the Reproducing Kernel Hilbert Space (RKHS) approach to determine the appropriate kernel function. These different constructions of surrogate models are applied to validation test cases and more complex objective functions pertaining to aerodynamic applications.La performance attendue d'un système peut généralement différer de sa performance opérationnelle en raison de la variabilité de certains paramètres. Habituellement, la phase de conception est divisée en deux phases différentes. La première phase consiste à déterminer la conception pré-optimale. Grâce à l'utilisation de logiciels numériques, la meilleure conception possible est choisie. Il s'agit de tenir compte de certaines performances idéales à atteindre en formulant des hypothèses-qui peuvent être subjectives-traduisant la variabilité de certains paramètres. La deuxième phase consiste, quant à elle, à certifier par des expériences à taille réelle que la conception déterminée précédemment est valide. De cette façon, la conception post-optimale est spécifiée. Cette deuxième phase est la plus coûteuse ; c'est pourquoi les industriels, notamment dans le domaine aéronautique, cherchent à réduire le recours aux expériences à taille réelle. L'Optimal Uncertainty Quantification (OUQ) est un outil mathématique puissant qui peut être utilisé pour borner rigoureusement la probabilité de dépasser un seuil de performance donné pour des conditions opérationnelles ou des caractéristiques de système incertaines. Cet outil conduit à la résolution d'un problème d'optimisation sur l'ensemble des mesures de probabilités admissibles, permettant ainsi de ne pas à avoir à formuler des hypothèses subjectives qui peuvent être fortes. Ce problème d'optimisation est a priori un problème non-convexe et fortement contraint, dans un espace de dimension infinie. Ainsi, il est généralement difficile à résoudre sur le plan numérique. Néanmoins, il peut être réduit à un problème d'optimisation équivalent en dimension finie.Ce travail de thèse porte, dans un premier temps, sur l'application de l'outil OUQ concernant notamment des cas issus du domaine de l'aéronautique permettant de borner rigoureusement la variation de fonctions de performance classiquement étudiées en aérodynamique, telles que la portance ou la trainée. Néanmoins, même après réduction du problème d'optimisation, cette approche demeure complexe et l'exactitude des résultats obtenus en est ainsi impactée.Afin de pallier cette difficulté, un algorithme permettant d'assurer la validité de ces résultats numériques a été par la suite formulé. Cet algorithme est analogue à la régression isotonique mais diffère sur les hypothèses établies. La convergence de cet algorithme a été démontrée. L'algorithme a été ensuite validé sur des cas tests numériques ainsi que sur un cas aérodynamique. Quoi qu'il en soit, l'application de la méthode OUQ nécessite d'évaluer la fonction de performance du système plusieurs dizaines de milliers de fois. De fait, l'usage d'un modèle peu coûteux en termes de temps est requis.Dans cette optique, plusieurs méthodes qui permettent de construire des modèles de substitution rapides à évaluer sont finalement présentées. Une première méthode fondée sur l'algorithme Kernel Flow, initialement appliquée à un problème de classification, est étendue à un problème de régression permettant la détermination du noyau d'un modèle de substitution de type processus gaussien. Puis, deux nouveaux algorithmes sont présentés. Ces algorithmes utilisent l'équivalence qui existe entre l'approche processus gaussien et l'approche par espace de Hilbert à noyau reproduisant (Reproducing Kernel Hilbert Space, RKHS) afin de déterminer le noyau adéquat. Ces différentes méthodes de modèles de substitution sont appliquées au travers de différents cas tests dont des cas du domaine aérodynamique