Analyse de polarisation et Optimisation géométrique

In the first part of this thesis, we introduce the concept of polarization of bivariate signals by comparing several approaches present in the literature. In particular, a complex representation and a vector representation are identified. We compare these representations and highlight the fact that they induce differences in treatment. We devote a section to the definition of the instantaneous polarization, in a similar spirit to that of the definition of the instantaneous frequency. We then argue that signal representation plays a strong role in the identification of certain instantaneous parameters. As an example, we explore in more detail a representation of polarization via an embedding of complex signals in the quaternion algebra. This work is the result of a thesis which precedes us by a short time. After noting the ease of writing allowed by the quaternionic embedding, we give theoretical explanations for the success of such an enterprise. To this end, an algebraic approach to the Fourier transform is proposed, then the link between quaternion algebra and geometric algebras is established. The geometric algebras provide a new type of object: the spinors whose interest in the representation of polarization is highlighted. In the last chapter of this part, we explore through trivariate signals the extension of polarization analysis to n-variate signals and formulate an analysis based on the study of invariants. We understand polarization transformations as the action of the group U(n) on the space of possible covariance matrices for a trivariate signal. In the second part, we propose a method for solving particular optimization problems of the density estimation type. The form of the problem is known in advance but the particular problem depends on an observation vector that changes at each acquisition. Our functions are defined on differentiable manifolds, and under certain conditions on the form of the optimization problem, we show that pre-computed solutions can be used as a basis to estimate a solution in a predictable time. This part calls for knowledge in differential geometry, the gist of which is given in the first chapter. We also recall some results on the convergence of Newton's methods and give a brief overview of homotopic methods. The end of this chapter illustrates the notions introduced on the example of the Rayleigh quotient, a function whose critical points are the eigenvectors of a certain symmetric matrix.Dans la première partie de cette thèse, nous introduisons le concept de polarisation des signaux bivariés en comparant plusieurs approches présentes dans la littérature. En particulier, une représentation complexe et une représentation vectorielle sont identifiées. Nous comparons ces représentations et mettons en évidence le fait qu'elles induisent des différences de traitement. Nous consacrons une partie à la définition de la polarisation instantanée, dans un esprit similaire à celui de la définition de la fréquence instantanée. Nous argumentons alors que la représentation des signaux joue un rôle fort dans l'identification de certains paramètres instantanés. En guise d'exemple, nous explorons plus en détail une représentation de la polarisation via un plongement des signaux complexes dans l'algèbre des quaternions. Ce travail est le fruit d'une thèse qui nous précède de peu. Après avoir constaté les facilités d'écriture permises par le plongement quaternionique, nous donnons des explications théoriques au succès d'une telle entreprise. A cette fin, une approche algébrique de la transformée de Fourier est proposée, puis le lien entre algèbre des quaternions et algèbres géométriques est établi. Les algèbres géométriques fournissent un nouveau type d'objet: les spineurs dont l'intérêt dans la représentation de la polarisation est mis en évidence. Dans le dernier chapitre de cette partie, nous explorons à travers les signaux trivariés l'extension de l'analyse de la polarisation aux signaux n-variés et formulons une analyse basée sur l'étude d'invariants. Nous comprendrons les transformations de polarisation comme l'action du groupe U(n) sur l'espace des matrices de covariance possibles pour un signal trivarié. Dans la deuxième partie, nous proposons une méthode de résolution de problèmes d'optimisation particuliers du type estimation de densité. La forme du problème est connue en avance mais le problème particuler dépend d'un vecteur d'observation qui change à chaque acquisition. Nos fonctions sont définies sur des variétés différentiables, et sous certaines conditions sur la forme du problème d'optimisation, nous montrons que des solutions pré-calculées peuvent servir de base pour estimer une solution en un temps prévisible. Cette partie fait appel à des connaissances en géométrie différentielles dont un tableau est dressé en premier chapitre. Nous rappelons également quelques résultats sur la convergence des méthodes de Newton et donnons un bref aperçu des méthodes homotopiques. La fin de ce chapitre illustre les notions introduites sur l'exemple du quotient de Rayleigh, une fonction dont les points critiques sont les vecteurs propres d'une certaine matrice symétrique