Approches Lagrangiennes pour la modélisation et l’optimisation du couplage hydrodynamique-photosynthèse

Microalgae are photosynthetic micro-organisms whose potential has been highlighted in the last decade. Applications can be found from to renewable energy production and wastewater treatment to some high added value commercial products e.g., food, pharmaceutical, cosmetics. Nevertheless, finding optimal growth conditions for full-scale cultivation of microalgae remains challenging in practice. Mathematical models are therefore of great help to better manage this complex, nonlinear dynamical system. The aim of this thesis is to better understand how different factors affect microalgal growth. In a first part, we study the influence of the light attenuation and the optimal condition to maximize the productivity. In this way, we introduce an optical productivity which enables us to determine the optimal condition for general light extinction function. A global optimal optical depth is found which consists in canceling the algal net growth rate at the bottom of the reactors to maximize the optical productivity. It can be used to characterize the optimization of the areal productivity in some specific cases, whereas an asymptotic behaviour has been observed in more general case. We then limit ourselves to a specific reactor - the raceway pond, which is an outdoor circuit basin combining with a paddle wheel. We start by investigating a resource allocation problem issuing from the re-distribution of the light resource to the algae by the paddle wheel. A generic mixing device is considered to assign at each lap the light resource to the algae layers in the raceway. We determine the optimal allocation strategies to maximize the algal growth. In a third part, we show how the shape of the topography affects (or not) the algal growth in raceway ponds. In this way, we consider a hydrodynamical-biological coupled model and introduce an optimization problem associated with the topography to maximize the algal growth. We also combine the optimization of the topographies with the previous allocation strategies to investigate their influence on algal production. Non-trivial topographies are obtained numerically to enhance the algal growth.The mathematical study of these optimization problems leads to new interesting working directions, improves and clarifies the understanding of influence by different factors on algal growth. We conclude with some discussions and perspectives of this work.Les microalgues sont des micro-organismes photosynthétiques dont le potentiel a été mis en évidence au cours de la dernière décennie. Des applications peuvent être trouvées dans la production d’énergie renouvelable ou dans le traitement des eaux usées par exemple. Elles peuvent être utilisées dans beaucoup de produits commerciaux à haute valeur ajoutée comme par exemple dans l’alimentation, la pharmacie ou les cosmétiques. Néanmoins, trouver des conditions optimales pour la production des microalgues à grande échelle reste un défi en pratique. Les modèles mathématiques sont donc d’une grande aide pour mieux gérer ce système dynamique complexe et non linéaire. L’objectif de cette thèse est de mieux comprendre comment différents facteurs affectent la croissance des microalgues. Dans un premier temps, nous étudions l’influence de l’atténuation lumineuse et obtenons une condition d’optimalité pour maximiser la productivité. De cette façon, nous introduisons une productivité optique qui nous permet de caractériser la fonction d’extinction de la lumière optimale dans un cadre général. On trouve une profondeur optique optimale globale qui consiste à annuler le taux de croissance net des algues au fond des réacteurs pour maximiser la productivité optique. Cette étude nous permet de caractériser la productivité surfacique optimale dans certains cas particuliers, et de décrire le comportement asymptotique des autres cas dans certains régimes. On se limite ensuite à un réacteur spécifique, le raceway pond, qui est un bassin de circuit extérieur associé à une roue à aubes. Nous commençons par étudier un problème d’allocation de ressources issu de la redistribution de la ressource lumineuse aux algues par la roue à aubes. Un dispositif de mélange générique est envisagé pour affecter à chaque tour la ressource lumineuse aux algues qui se situent sur différentes couches dans le raceway. Nous déterminons les stratégies d’allocation optimales pour maximiser la croissance des algues. Dans une troisième partie, nous montrons comment la forme de la topographie affecte (ou non) la croissance des algues dans le raceway. De cette façon, nous considérons un modèle hydrodynamique- biologique couplé et introduisons un problème d’optimisation associé à la topographie pour maximiser la croissance des algues. Nous combinons également l’optimisation des topographies avec les stratégies d’allocation précédentes pour étudier leur influence sur la production d’algues. Des topographies non triviales sont obtenues numériquement pour améliorer la croissance des algues. L’étude mathématique de ces problèmes d’optimisation conduit à de nouvelles directions de travail, améliore et clarifie la compréhension de l’influence de différents facteurs sur la croissance des algues. Nous concluons par quelques discussions et perspectives de ce travail