L'analyse isogéométrique dans la physique des plasmas et l'électromagnétisme

Introduite récemment par Hughes et ses collaborateurs, l'analyse isogéométrique connaît un large succès pour des problèmes principalement industriels. L'idée est de faciliter la communication entre la C.A.O et la simulation numérique, sans avoir à repasser à chaque fois par des mailleurs. Ainsi, les fonctions définissants la géométrie sont utilisées pour approcher les solutions des équations à dérivées partielles. L'application aux problèmes issues de l'électromagnétisme ont été motivé par les travaux de Buffa et ses collaborateurs à Pavie. Dans cette thèse, nous avons appliqué cette méthode pour résoudre des problèmes issues de la physique des plasmas. S il est vrai que la géométrie n est pas définie, l'analyse isogéométrique dans sa version isoparamétrique, nous fournit un outil très puissant pour approcher les domaines de calculs. Dans un plasma, ce domaine est défini par la résolution d'un problème d'équilibre (MHD equilibrium). A partir de là, différents modèles sont utilisés pour décrire le plasma: cinétiques (gyrocinétique) ou fluides. Nous avons passé en revue les méthodes les plus classiques et plus utilisées afin de révéler l'intérêt de la méthode. Se basant sur la structure de produit tensoriel, nous avons développé des solveurs rapides pour la résolution de certains problèmes. Nous avons aussi dérivé un solveur, se basant sur les complexes de Hilbert, pour les équations de Maxwell en time domain .The underlying idea behind the IsoGeometric Analysis (IGA), developed recently by Hughes et al, is to use the functions (B-splines/NURBS) that describe the geometry in order to approach the numerical solution of pdes. This reduces the communication between C.A.D system and numerical solvers, and thus is well adapted for industrial problems. The application to Maxwell s equations was recently motivated by the works of Buffa et al. In this thesis, we apply this new method to solve problems arising from plasmas physics. Even if, in the general case, the geometry is not defined, the IsoGeometric Analysis gives a powerful tool to approach computational domains, and thus can be used in its isoparametric version. In a plasma, this domain can be defined by using an equilibrium problem (MHD equilibrium). Therefor, we can use common models to describe the plasma; this can be done using kinetic (gyrokinetic) or fluid approach. We have adapted the most classical methods using the IGA approach in order to reveal its interest. We were also able to derive some fast solver, based on the tensor product structure. We have also studied Maxwell s equations for the time domaine problem, and gave a new fast algorithm for its resolution based on Hilbert complexes