Incompatibility of high-dimensional quantum measurements

Théorie de l'infiniment petit, la mécanique quantique surprend depuis près d'un siècle et ses contre-intuitives prédictions en ont fait le renom. Ainsi, toute mesure effectuée sur un système quantique est intrinsèquement perturbante et l'état en ressort généralement modifié. Bouleversé par une première mesure, il se peut alors que ce système donne un résultat faussé pour une seconde : on parle de mesures incompatibles, dont un exemple célèbre est donné par les relations d'incertitudes d'Heisenberg qui limitent la précision simultanée sur la position et l'impulsion. Examiner de façon quantitative cette propriété dans le cas de systèmes disposant d'un nombre fini mais potentiellement grand de degrés de libertés a été l'un des objectifs de ma thèse. Rares étaient les résultats au-delà du bit quantique, en partie du fait de la difficulté à visualiser les états de grande dimension ainsi que de l'explosion du nombre de paramètres. Néanmoins, en développant des méthodes calculatoires universelles ou en exploitant des structures plus abstraites mais se prêtant bien à la généralisation, j'ai pu commencer à débroussailler la jungle touffue des hautes dimensions, dont la luxuriance a souvent pu être mise à profit. Aussi ces résultats ont-ils naturellement trouvé des conséquences expérimentales dans le domaine du pilotage quantique, applications que j'évoque pour finir. Ce manuscrit met en résonance plusieurs articles scientifiques publiés au cours de ma thèse. La fluide articulation des différents résultats a souvent impliqué une sélection du contenu exposé ainsi qu'une réduction du niveau de détail. En appendice de cette thèse se trouvent les articles originaux parmi lesquels pourront être trouvés l'ensemble des preuves, des résultats complémentaires, et les publications non présentées.For more than a century, quantum mechanics, the theory of the infinitely small, keeps offering surprises through its notoriously counter-intuitive predictions. As an example, any measurement performed on a quantum system intrinsically disturbs its state, so that there can exist incompatible measurements that cannot be performed at the same time. A famous instance of this property is quantified in Heisenberg's uncertainty principle, which limits the simultaneous accuracy on the position and the momentum. In this manuscript, I examine quantitatively this property in the case of quantum systems with a finite but potentially large number of degrees of freedom. Beyond quantum bits, the results to this regard were quite rare, due to the difficulty to visualise high-dimensional states, whose number of parameters grows quite fast. However, by developing new universal computational methods or by exploiting abstract structures likely to be generalised, I could start to clear the way towards the understanding of the complexity arising in high dimensions. Given the natural link between incompatibility and quantum steering, the results were quite useful in this field and I finish by discussing these applications. This manuscript articulates several scientific articles published during the course of my thesis. In an attempt to smoothly present the ones sharing a common problematic, I handpicked the results to be covered and often reduced the level of detail. Complete proofs, additional results, and other publications can be found in the original works, given in appendix