Application d’analyses statistiques avancées pour les modèles internes en assurance vie

Les accords de Bale et les directives européennes associées ont conduit à conditionner les capitaux prudentiels des banques à leur profil de risqué plutôt qu’à leur taille ou chiffre d’affaire. La directive Solvabilité 2 (ci-après la "directive") répète ce processus pour les assureurs et réassureurs européens. Elle constitue un changement total de paradigme pour la majorité des assureurs européens. Elle définit les grands principes réglementaires visant à encadrer leur activité et en particulier à déterminer le montant des capitaux prudentiels associés aux risques inhérents à leur activité.Conformément à la directive, le capital prudentiel correspond en principe pour un assureur au quantile à 99.5% de la variation de ses fonds propres sur l’année à venir. Une telle mesure de risque prospective requiert pour un assureur la capacité d’adresser deux problèmes : un problème de valorisation et un problème de simulation. En pratique, le quantile à 99.5% de la variation de ses fonds propres est estimépar la méthode de Monte-Carlo. Il est particulièrement sensible à la loi jointe à un an retenue pour le vecteur de facteurs de risque x. Son évaluation par méthode de Monte-Carlo nécessiterait idéalement de simuler m réalisations du facteur de risque x à un an et d’évaluer les valeurs des fonds propres associées. Compte tenu du temps de calcul important nécessaire à l’évaluation numérique, cette approche s’avère en pratique inadaptée. De manière à contourner ce problème, les opérationnels ont mis au point de nombreuses méthodes d’approximation ou « proxys » qui permettent d’en approximer la valeur de manière instantanée. Aujourd’hui, ces méthodes sont rarement accompagnées de contrôles d’erreur qui permettraient d’en mesurer la qualité. Plus précisément, les méthodes actuellement utilisées par les opérationnels ne permettent pas de contrôler naturellement l’erreur d’approximation engendrée par l’utilisation du modèle proxy en lieu. Les contrôles d’erreur proposés sont donc toujours empiriques et trop approximatifs.Afin de résoudre cette problématique, nous proposons, dans une première partie de cette thèse, une nouvelle méthode de construction du proxy à la fois économe en ressources informatiques et offrant un contrôle d’erreur rigoureux. La deuxième partie de cette thèse a pour l’objectif d’appliquer la théorie de la valeur extrême à l’estimation du capital prudentiel lorsque l’information sur la covariable est disponible. En particulier, lorsque la covariable est de grande dimension, nous sommes confrontés au problème de la "curse of dimensionality", qui se traduit par une diminution des taux de convergence les plus rapides possibles des estimateurs de la fonction de régression vers leur courbe cible. Ce problème fait référence au phénomène où le volume de la covariable augmente si rapidement que les données disponibles deviennent rares. Pour obtenir un résultat statistiquement fiable, la quantité de données nécessaire à l’appui du résultat augmente souvent de manière exponentielle avec la dimensionnalité, ce qui est généralement problématique dans de nombreuses applications pratiques. Pour surmonter ce problème d’estimation, nous proposons une nouvelle méthodologie d’évaluation efficace en combinant le modèle additif généralisé et la méthode de sparse group lasso.The Basel agreements and the associated European directives have made banking prudential capital contingent on their risk profile rather than on their size or turnover. The Solvency 2 Directive (hereinafter the "Directive") repeats this process for European insurers and reinsurers. It constitutes a total paradigm shift for the majority of European insurers. It defines the main regulatory principles aimed at regulating their activity and in particular determining the amount of prudential capital associated with the risks inherent to their activity.In accordance with the directive, the prudential capital corresponds in principle to an insurer with a 99.5% percentile of the change in its basic own funds over the coming year. Such a prospective risk measure requires for an insurer the ability to address two problems: a valuation problem and a simulation problem. In practice, the 99.5% percentile of the change in basic own funds is estimated using the MonteCarlo method. It is particularly sensitive to the one-year law retained for the risk factors vector. Its Monte Carlo valuation would ideally require the simulation of one year risk factor vector x and the valuation of the associated equity values. Given the significant calculation time required for numerical evaluation, this approach is in practice unsuitable. In order to circumvent this problem, the insurers have developed many approximate methods or "proxies" which make it possible to approximate the basic own funds value instantaneously. Today, these methods are rarely accompanied by error controls that would measure the simulation quality. More precisely, the methods currently used by the insurers do not make it possible to control naturally the approximation error generated by the use of the proxy model instead. The proposed error checks are therefore always empirical and too approximate.In order to solve this problematic, we propose, in a first part of this thesis, a new method of constructing the proxy that is both resource-efficient and offers rigorous error control. The second part of this thesis aims at applying the extreme value theory to the prudential capital estimate when information on the covariate is available. In particular, when the covariate is high dimensional, we are confronted with the problem of the curse of dimensionality, which translates into a decrease in the fastest possible convergence rates of estimators of the regression function to their target curve. This problem refers to the phenomenon where the volume of the covariate increases so rapidly that available data become sparse. To obtain a statistically reliable result, the amount of data needed to support the result often increases exponentially with dimensionality, which is generally problematic in many practical applications. To overcome this estimation problem, we propose a new efficient evaluation methodology by combining the generalized additive model and the sparse group lasso method