Relations entrelaçantes, la commutativité et les orbites

The density of orbits and commutativity up to a factor of bounded linear operators have become of great interest for Operator Theorists during the last decades. This interest comes from the relationship that exists between the study of orbits and spectral properties of linear operators on Banach spaces and the Invariant Subspace Problem. As a consequence, the research on the Theory of Hyperclicity has increased considerably. In this manuscript, we characterize the hypercyclicity of the Ces`aro means of higher-order on Banach spaces. We prove some sufficient conditions on the extended-spectrum of a bounded linear operator that guarantee its non convex-cyclicity. The notion of convex-cyclicity, was introduced by H. Rezaei in 2013 (see [83]). It is a sufficient condition for cyclicity and a necessary condition for hypercyclicity. We characterize the hypercyclicity of operators commuting up to a factor with the differentiation operator in the space of entire functions equipped with the topology of uniform convergence for compact sets. Our results are an extension of some of the most classical results related to the differentiation operator, that is, the ones of G. Godefroy and J. H. Shapiro [39], and R. Aron and D. Markose [2]. Next, we consider some particular operators, such as composition operators in weighted Hardy spaces. These operators have been studied intensely by several mathematicians in the Hardy space, see the recent of [54]. Although we know fewer things about these operators in weighted Hardy spaces, we calculated the extended-spectrum of composition operatorsthat are induced by a bilinear transformation that fixes an interior point of the unit disk and an exterior one of its closure. Namely, we treat the elliptic,loxodromic cases and a hyperbolic subcase. Finally, we continue to the study of the more general unbounded operators. After the paper of von Neumann [99], commutativity and intertwining relations of unbounded operators have been developed by many mathematicians. Among these mathematicians, we state Fuglede whose Theorem was an improvement of the Spectral Theorem for Normal Operators. We show a new version of the Fuglede Theorem for unbounded normal operators.La densité d'orbites et la commutativité jusqu'à un facteur de linéaire borné opérateurs sont devenus d'un grand intérêt pour les théoriciens des opérateurs au cours de la dernière décennies. Cet intérêt vient de la relation qui existe entre les étude des orbites et propriétés spectrales des opérateurs linéaires sur les espaces de Banach et le problème du sous-espace invariant. En conséquence, les recherches sur le La théorie de l'hyperclicité a considérablement augmenté. Dans ce manuscrit, nous caractériser l'hypercyclicité des moyennes d'ordre supérieur de Ces`aro sur Banach les espaces. Nous montrons des conditions suffisantes sur le spectre étendu d'un opérateur linéaire borné qui garantit sa non-cyclicité convexe. La notion de convexité-cyclicité, a été introduite par H. Rezaei en 2013 (voir [83]). C'est un condition suffisante pour la cyclicité et une condition nécessaire pour l'hypercyclicité. Nous caractérisons l'hypercyclicité des opérateurs commutant jusqu'à un facteur avec l'opérateur de différenciation dans l'espace de fonctions entières équipées de la topologie de la convergence uniforme pour les ensembles compacts. Nos résultats sont un extension de certains des résultats les plus classiques liés à la différenciation opérateur, c'est-à-dire ceux de G. Godefroy et J. H. Shapiro [39], et R. Aron et D. Markose [2]. Ensuite, nous considérons certains opérateurs particuliers, tels que opérateurs de composition dans les espaces de Hardy pondérés. Ces opérateurs ont été étudié intensément par plusieurs mathématiciens de l'espace Hardy, voir le récent de [54]. Bien que nous sachions moins de choses sur ces opérateurs en termes pondérés Espaces Hardy, nous avons calculé le spectre étendu des opérateurs de composition qui sont induits par une transformation bilinéaire qui fixe un point intérieur de le disque unitaire et un extérieur de sa fermeture. A savoir, nous traitons l'elliptique, cas loxodromiques et un sous-cas hyperbolique. Enfin, nous poursuivons l'étude des opérateurs non bornés plus généraux. Après l'article de von Neumann [99], la commutativité et les relations d'entrelacement des opérateurs non bornés ontété développé par de nombreux mathématiciens. Parmi ces mathématiciens, nous état Fuglede dont le théorème était une amélioration du théorème spectral pour les opérateurs normaux. Nous montrons une nouvelle version du théorème de Fuglede pour opérateurs normaux non bornés