Préconditionnement de méthodes de décomposition de domaine pour les équations elliptiques stochastiques

This thesis presents a new numerical method to efficiently generate samples of the solution of stochastic elliptical equations with random coefficients. Particular emphasis is placed on coefficients with high variance and short correlation length. This work concerns the adaptation of some classical Domain Decomposition (DD) Methods to the sampling of stochastic problems. Classical deterministic DD methods are based on iterative approaches which require preconditioning strategies capable of maintaining a high rate of convergence when the number of subdomains increases. In our stochastic context, determining a classical preconditioner suitable for each sample can be expensive, and alternative strategies can be more efficient. Each sample amounts to solving a reduced linear system for the values of the solution at the interfaces of the subdomains, according to a finite element discretization. This reduced system is then solved by an iterative method. This thesis proposed three main contributions to efficient preconditioning, by introducing surrogates of 1) the reduced global operator, 2) the contribution of each subdomain to the reduced global operator, and 3) local preconditioners (multi-preconditioning). The first contribution focuses on the iterative Schwarz method and introduces a stochastic preconditioner consisting of a surrogate of the Schwarz system for the unknown values on the interface of the subdomains. The second contribution extends the previous idea to nonoverlapping DD methods by building surrogates of the local components of the Schur complement. Finally, the third contribution concerns a totally local preconditioner: the two-level Neumann-Neumann preconditioner. Throughout each contribution, a large number of numerical experiments show the effectiveness of surrogate-based preconditioning.Cette thèse présente une nouvelle méthode numérique pour générer efficacement des échantillons de la solution d’équations elliptiques stochastiques avec des coefficients aléatoires. Un accent particulier est mis sur les coefficients avec une variance élevée et des corrélation spatiales très courtes. Ce travail concerne l’adaptation de certainesMéthodes de Décomposition de Domaine (DD) classiques à l’échantillonnage de problèmes stochastiques. Les méthodes DD déterministes classiques reposent sur des approches itératives qui nécessitent des stratégies de préconditionnement capable de maintenir un taux de convergence élevé lorsque le nombre de sous-domaines augmente. Dans notre contexte stochastique, la détermination d’un préconditionneur classique adapté à chaque échantillon peut être coûteuse, et des stratégies alternatives peuvent être plus efficaces. Chaque échantillon revient à résoudre un système linéaire réduit pour les valeurs de solution aux interfaces des sous-domaines, selon une discrétisation par éléments finis. Ce système réduit est ensuite résolu par une méthode itérative. Cette thèse proposait trois contributions principales au préconditionnement efficace, en introduisant des métamodèles de 1) l’opérateur global réduit, 2) la contribution de chaque sous-domaine àl’opérateur global réduit, et 3) les préconditionneurs locaux (multi-préconditionnement). La première contribution se concentre sur la méthode itérative de Schwarz et introduit un préconditionneur stochastique consistant en un métamodèle du système de Schwarz pour les valeurs inconnues sur la interfacedes sous-domains. La deuxième contribution étend l’idée précédente aux méthodes DD en construisant les métamodèles des composantes locales du complément deSchur. Finalment, la troisième contribution concerne un préconditionneur totalement local: le préconditionneur Neumann-Neumann à deux niveaux. Tout au long de chaque contribution, un grand nombre d’expériences numériques montrent l’efficacité de le préconditionnement basé sur métamodèles